Wykaż, że \(\displaystyle{ det(I+xx^{T})=1+x^{T}x}\)
wskazówka: istnieje macierz ortogonalna odwzorowująca x na pewną wielokrotność wektora \(\displaystyle{ e_{1}=(1,0,0,...)^{T}}\)
--------------------
EDIT: -- 29 maja 2009, 11:31 --
już wiem - sam sobie odpowiem, mam nadzieję że to nie jest niezgodne z zasadami, może to komuś kiedyś w czymś pomoże
weźmy macierz A , taką, że jej pierwszy wiersz to wektor \(\displaystyle{ x^{T}}\) , i macierz A jest ortogonalna (więc \(\displaystyle{ A^{-1}=A^{T}}\) , det A = 1 lub -1)
wtedy \(\displaystyle{ det(I+xx^{T})=det(A(I+xx^{T})A^{T})=det(A+(Ax)x^{T})A^{T}}\)
\(\displaystyle{ Ax=\begin{bmatrix} \parallel x \parallel^{2}_{2}\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix}= \parallel x \parallel^{2}_{2}*\begin{bmatrix} 1\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix}}\) - bo mnożąc skalarnie pierwszy wiersz macierzy A (założyliśmy że jest on równy x) przez x dostaniemy kwadrat normy x, a mnożąc pozostałe wiersze A przez x dostaniemy 0 , bo są prostopadłe do niego
\(\displaystyle{ Axx^{T}= \parallel x \parallel^{2}_{2}*\begin{bmatrix} 1\\0\\ \vdots\\0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}&x_{2}&\dots&x_{n}\end{bmatrix}= \parallel x \parallel^{2}_{2}
*\begin{bmatrix} x_{1}&x_{2}&\dots&x_{n}\\0&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ 0&0&\dots&0\\ \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A+Axx^{T}= \begin{bmatrix} \vec{x}+ \parallel x \parallel^{2}_{2} *\vec{x}\\ \vec{a_{2}} \\ \vdots \\ \vec{a_{n}} \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} \vec{x}( \parallel x \parallel^{2}_{2} +1) \\ \vec{a_{2}} \\ \vdots \\ \vec{a_{n}} \end{bmatrix}}\)
( jest to macierz A z pierwszym wierszem pomnożonym przez ||x||+1 )
wyznacznik macierzy po pomnożeniu wiersza przez skalar również ulega pomnożeniu przez ten skalar, zatem
\(\displaystyle{ det(A+Axx^{T})=( \parallel x \parallel^{2}_{2} +1)*det(A)}\)
ostatecznie \(\displaystyle{ det(I+xx^{T})=( \parallel x \parallel^{2}_{2} +1)*detA*detA^{T}=( \parallel x \parallel^{2}_{2} +1)=x^{T}x+1}\) (bo A ortogonalna, więc \(\displaystyle{ detAA^T=1}\))
ew. niech ktoś sprawdzi czy nie namieszałem