Macierz obrotu

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
darkangel36
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 15:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nysa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3 razy

Macierz obrotu

Post autor: darkangel36 »

Bardzo prosze o pomoc w zadaniu:)

Uzasadnic, ze S jest macierza obrotu w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) . wyznaczy os oraz kat tego obrotu.
\(\displaystyle{ S= \frac{1}{3} \left[\begin{array}{ccc}2&-2&-1\\-1&-2&2\\-2&-1&-1\end{array}\right]}\)
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Macierz obrotu

Post autor: BettyBoo »

Jeśli to ma być obrót wokół osi, to dla wszystkich punktów leżących na tej osi musi zachodzić równość \(\displaystyle{ SP=P}\) (bo one same są swoim obrazem), a dla wszystkich innych mamy \(\displaystyle{ SP\neq P}\). Oznacza to w szczególności, że 1 musi być wartością własną macierzy S (a przestrzeń własna związana z 1 musi mieć wymiar 1, bo to równość zachodzi tylko dla punktów na jednej prostej) - a nie jest.

Tak w ogóle, w odpowiednio dobranej bazie macierz obrotu wokół osi o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ma postać

\(\displaystyle{ M=\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin\alpha & 0\\ \sin\alpha&\cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}}\)

więc w szczególności wyznacznik macierzy M jest równy 1, a ponieważ wyznacznik jest niezmiennikiem przekształcenia, to wyznacznik S też musi być równy 1 (co sprawdza się łatwiej niż wartości własne) - a tak nie jest.

Na pewno dobrze zapisałaś treść tego zadania?

Pozdrawiam.
darkangel36
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 15:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nysa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3 razy

Macierz obrotu

Post autor: darkangel36 »

zadanie jest na 100% napisane tak jak powinno byc. i to mnie własnie martwi. bo nie wiem w sumie co mam zrobic. probowałam robic przekształcenia elementarne bo anuz wyszła by ładna maciez obrotu ale jakos nie wychodzi mi to...:/
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Macierz obrotu

Post autor: BettyBoo »

Jeśli zadanie jest dobrze napisane, to odpowiedź brzmi, że to nie jest macierz obrotu wokół żadnej osi.
Nic Ci nie ma prawa z tego wyjść, bo ta macierz nie spełnia warunku na obrót. Koniec

Pozdrawiam.
darkangel36
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 15:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nysa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 3 razy

Macierz obrotu

Post autor: darkangel36 »

hm... musi jakos wyjsc:/ acha. i sa przeciez 3 macierze obrotu.
ODPOWIEDZ