zbadac jakie krzywe przedstawiaja rownanie?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
ja89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 19 paź 2008, o 09:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka
Podziękował: 1 raz

zbadac jakie krzywe przedstawiaja rownanie?

Post autor: ja89 »

\(\displaystyle{ 8x^2-12xy+17y^2+16x-12y+3=0}\)
zadaniem jest zbadanie jaka krzywa przedstawia dane rownanie.
przypuszczam ze bedzie to elipsa..
wynika to z tego pierwiastki wyznacznika |A-xI|=0
gdzie A jest macierza ktora na \(\displaystyle{ a_{1,1}=8, a_{1,2}=a_{2,1}=-6, a_{2,2}=17}\)
a I jest macierza jednostkowa.
powiedziano mi ze jesli pierwiastki te sa dodatnie x=5,x=20 to najprawdopodobniej bedzie to elipsa
ale jak sprawdzic ze to napewno jest elipsa?
tzn. czy np nie jest to cala plaszczyzna, czy nie jest to tylko 1 punkt, czy wogole przedstawia to jakas krzywa?
prosze o pomoc
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

zbadac jakie krzywe przedstawiaja rownanie?

Post autor: BettyBoo »

Ogólnie rodzaj krzywej określa się na podstawie wartości własnych tej macierzy. Jeśli obie są dodatnie (lub obie ujemne) to jest to elipsa (w szczególności jeśli są równe to okrąg) - lub też któraś jej zdegenerowana postać, czyli 1 punkt albo zbiór pusty. To zależy od reszty wzoru.

Ponieważ ta macierz A, która napisałaś wyżej jest symetryczna, to jest ortogonalnie diagonalizowalna, tzn istnieje macierz ortogonalna P (czyli taka, że \(\displaystyle{ P^{-1}=P^T\ \Leftrightarrow \ PP^T=P^TP=I}\); jej kolumnami są ortogonalne wektory własne o długości 1) taka, że dla pewnej macierzy diagonalnej D (która na przekątnej ma dokładnie wartości własne macierzy A) zachodzi równość \(\displaystyle{ A=PDP^T}\)

Jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ X=[x\ y]}\) oraz \(\displaystyle{ K=[16\ -12]^T}\), to równanie krzywej można zapisać w postaci

\(\displaystyle{ XAX^T+XK+3=0}\)

Podstawiając za macierz A oraz korzystając z własności macierzy P możemy je przekształcić do postaci

\(\displaystyle{ XPDP^TX^T +XPP^TK+3=0\ \Leftrightarrow \ (XP)D(XP)^T+(XP)(P^TK)+3=0}\)

Macierz P definiuje przekształcenie współrzędnych. Jeśli podstawimy \(\displaystyle{ XP=X'=[x'\ y']}\)
to wtedy równanie krzywej w nowych współrzędnych ma postać

\(\displaystyle{ X'DX'^T+X'(P^TK)+3=0\ \Leftrightarrow \ D_{11}x'^2+D_{22}y'^2+(P^TK)_{11}x'+(P^TK)_{21}y'+3=0}\)

gdzie \(\displaystyle{ M_{ij}}\) oznacza element macierzy M stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie.

Jeśli macierz \(\displaystyle{ P^TK}\) nie jest macierzą zerową, to powyższe równanie trzeba jeszcze raz przekształcić, uzupełniając kwadraty (o ile są). Po przekształceniu już widać, czy to jest elipsa, czy któraś jej postać zdegenerowana.


Twoje dane są dość paskudne, bo wartości własne dzikie wychodzą, więc wektory własne też wychodzą nieciekawe. Można więc trochę inaczej zrobić. Jeśli wartości własne znasz, to wiesz, co to za typ krzywej. Można więc oryginalne równanie przekształcić tak: grupujesz wszystkie składniki zwierające x i uzupełniasz to do kwadratu. Ponieważ wiadomo, że to będzie elipsa, więc zostanie Ci na pewno jakiś składnik postaci \(\displaystyle{ ay^2}\). Ponieważ masz też -12y, to uzupełniasz teraz oba składniki zawierające y do kwadratu pewnego wyrażenia. Otrzymujesz więc wzór w takiej postaci

\(\displaystyle{ x'^2+y'^2+c=0}\)

i w zależności od wartości c masz elipsę (c<0), punkt (c=0) lub zbiór pusty (c>0).

Pozdrawiam.
ja89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 19 paź 2008, o 09:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z daleka
Podziękował: 1 raz

zbadac jakie krzywe przedstawiaja rownanie?

Post autor: ja89 »

Baardzo dziekuje. wlasnie o cos takiego mi chodzilo;]
ODPOWIEDZ