równianie macierzowe

[smola1987]

Witam. mam takie równanie
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&1\\1&1&1&0\\-1&1&-1&1\\1&0&1&-1\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x1\\x2\\x3\\x4\end{bmatrix}}\) = \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\)

Jak to ugryzc? Zaczalem metoda cramera i wyznacznik wyszedl mi 0..Ten układ jest sprzeczny czy po prostu cramerem sie go nie zrobi?
dzieki

[agulka1987]

eliminacja Gaussa

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1&1 \left|2\\1&1&1&0 \left|1\\-1&1&-1&1 \left|0\\1&0&1&-1 \left|0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}, W_{3}+W_{1}, W_{4}-W_{1} = \begin{bmatrix}1&0&1&1 \left|2\\0&1&0&-1 \left|-1\\0&1&0&2 \left|2\\0&0&0&-2 \left|-2\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{3}-W_{2} = \begin{bmatrix}1&0&1&1 \left|2\\0&1&0&-1 \left|-1\\0&0&0&3 \left|3\\0&0&0&-2 \left|-2\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{3} \cdot ( \frac{1}{3}), W_{4} \cdot (- \frac{1}{2}) = \begin{bmatrix}1&0&1&1 \left|2\\0&1&0&-1 \left|-1\\0&0&0&1 \left|1\\0&0&0&1 \left|1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{1}-W_{3}, W_{2}+W_{3} = \begin{bmatrix}1&0&1&0 \left|1\\0&1&0&0 \left|0\\0&0&0&1 \left|1\\0&0&0&1 \left|1\end{bmatrix}}\)

układ równań jest zależny od 1 parametru więc za \(\displaystyle{ x_{3}}\) podstawiam parametr "p"

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=1-p \\ x_{2}=0 \\ x_{3}=p \\ x_{4}=1 \end{cases}}\)

[smola1987]

A mozesz wyjasnic o co chodzi z tymi parematrami? Dzieki wielkie za pomoc
p.s. Jakie równania mozna w takim razie cramerem rozwiazac?

[Mariusz M]

Spróbuj odwrócić macierz główną układu
Następnie przemnóż macierz odwrotną przez kolumnę wyrazów wolnych


Macierz odwrotną można policzyć stosując metodę eliminacji Gaussa

\(\displaystyle{ \left[ A|I\right]-> \left[ I|A^{-1}\right]}\)

Elemety należy zerować przy pomocy operacji elementarnych
1. Dodanie wiersza do innego wiersza
2. Pomnożenie wiersza przez skalar różny od zera
3. Zamiana wierszy

Wyznacznik jest równy zero gdy jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy

Gdy wyznacznik jest równy zero to liczymy
rzędy macierzy głównej i rozrzerzonej metodą eliminacji Gaussa (sprowadzamy macierz do postaci schodkowej)

Jeżeli rzędy są równe to wybieramy podmacierz kwadratową rzędu r
o niezerowym wyznaczniku niepotrzebne równania skreślamy a nadmiarowe niewiadome przenosimy
do kolumny wyrazów wolnych
Ponownie liczymy macierz odwrotną i mnożymy ją przez kolumnę wyrazów wolnych

Oczywiście można od razu zacząć od liczenia rzędów-- 27 maja 2009, 16:43 --

A mozesz wyjasnic o co chodzi z tymi parematrami? Dzieki wielkie za pomoc
p.s. Jakie równania mozna w takim razie cramerem rozwiazac?

Takie gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej
Rząd macierzy najlepiej liczyć metodą eliminacji Gaussa

Gdy rzędy są równe wybieramy macierz kwadratową o stopniu równym rzędowi
oraz o niezerowym wyznaczniku
Niepotrzebne równania skreślamy a nadmiarowe niewiadome przenosimy do kolumny wyrazów wolnych

Obliczamy wyznacznik głowny tej macierzy oraz wyznaczniki macierzy powstałych z wstawienia do i tej kolumny kolumny wyrazów wolnych

[smola1987]

A moglbys pokazac na tym przykladzie to co napisales? Bylbym wdzieczny

[Mariusz M]

A moglbys pokazac na tym przykladzie to co napisales? Bylbym wdzieczny

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1&1 \left|2\\1&1&1&0 \left|1\\-1&1&-1&1 \left|0\\1&0&1&-1 \left|0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}, W_{3}+W_{1}, W_{4}-W_{1} = \begin{bmatrix}1&0&1&1 \left|2\\0&1&0&-1 \left|-1\\0&1&0&2 \left|2\\0&0&0&-2 \left|-2\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{3}-W_{2} = \begin{bmatrix}1&0&1&1 \left|2\\0&1&0&-1 \left|-1\\0&0&0&3 \left|3\\0&0&0&-2 \left|-2\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{3} \cdot ( \frac{1}{3}), W_{4} \cdot (- \frac{1}{2}) = \begin{bmatrix}1&0&1&1 \left|2\\0&1&0&-1 \left|-1\\0&0&0&1 \left|1\\0&0&0&1 \left|1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{1}-W_{3}, W_{2}+W_{3} = \begin{bmatrix}1&0&1&0 \left|1\\0&1&0&0 \left|0\\0&0&0&1 \left|1\\0&0&0&1 \left|1\end{bmatrix}}\)

Ponieważ dwa ostatnie wiersze są równe jeden z nich wykreślamy

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1&0 \left|1\\0&1&0&0 \left|0\\0&0&0&1 \left|1 \end{bmatrix}}\)


Rzędy macierzy rozszerzonej oraz macierzy głównej są równe więc


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&1&1 \left|2-x_{1}\\1&1&0 \left|1-x_{1}\\1&-1&1 \left|x_{1}\end{bmatrix}}\)

Liczymy macierz odwrotną macierzy

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&1&1 \\1&1&0 \\1&-1&1\end{bmatrix}}\)

Macierz odwrotna wynosi

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}- \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}}\)

Teraz wystarczy pomnożyć macierz odwrotną przez kolumnę wyrazów wolnych