Obliczyć wyznacznik macierzy

ewkaj89 · Post autor: **ewkaj89** » 26 maja 2009, o 17:45

Dana jest macierz A stopnia piątego, której \(\displaystyle{ detA=a}\).

Oblicz \(\displaystyle{ det3A^{T}}\) oraz \(\displaystyle{ det \frac{1}{2}A^{T}}\).

Vigl · Post autor: **Vigl** » 26 maja 2009, o 18:04

Z tego co mi wiadomo to: \(\displaystyle{ det(A)=det(A^T)}\)
Z kolei \(\displaystyle{ det(kA)=k^ndet(A)}\), gdzie k to dowolna stała, a n to stopień macierzy.
Czyli:
\(\displaystyle{ det3A^T=det3A=3^5detA=243a}\)
Drugie dla Ciebie.

ewkaj89 · Post autor: **ewkaj89** » 26 maja 2009, o 22:14

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\1&(1-x)&1&1\\1&1&(2-x)&1\\1&1&1&(3-x)\end{vmatrix}=0}\)

i należy rozwiązać względem \(\displaystyle{ x}\) równanie, należało by to metodą La Place'a ale tutaj żadnych 0 nie ma więc skąd mam wiedzieć który wiersz bądź którą kolumnę mam wykreślić?

Vigl · Post autor: **Vigl** » 27 maja 2009, o 02:50

Przecież możesz to rozwinąć Laplace'em np. względem pierwszego wiersza (lub kolumny). Dostaniesz sumę trzech wyznaczników macierzy trzeciego rzędu, a to już policzysz bez problemu.

ewkaj89 · Post autor: **ewkaj89** » 27 maja 2009, o 07:28

jeśli tak robię to wychodzi
\(\displaystyle{ x^{3}-6x^{2}+8x-2=0}\)

i właśnie to nie takie proste żeby rozwiązać... szukałam pierwiastków żeby podzielić.. ale takowych znaleźć nie mogę.. i nie wiem czy coś źle obliczyłam może?

Ps. To można wykreślać również i rzędy jedynkowe, nie muszą być koniecznie 0?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 maja 2009, o 08:05

Vigi przed użyciem rozwinięcia Laplace'a proponowałbym
odjąć pierwszy wiersz (kolumnę) od pozostałych

-- 27 maja 2009, 08:25 --

ewkaj89 pisze:\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\1&(1-x)&1&1\\1&1&(2-x)&1\\1&1&1&(3-x)\end{vmatrix}=0}\)

i należy rozwiązać względem \(\displaystyle{ x}\) równanie, należało by to metodą La Place'a ale tutaj żadnych 0 nie ma więc skąd mam wiedzieć który wiersz bądź którą kolumnę mam wykreślić?

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\1&(1-x)&1&1\\1&1&(2-x)&1\\1&1&1&(3-x)\end{vmatrix}=0}\)

Odejmijmy pierwszą kolumnę od pozostałych

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&1&1\\1&(-x)&1&1\\1&0&(2-x)&1\\1&0&1&(3-x)\end{vmatrix}=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&0&1\\1&(-x)&0&1\\1&0&(1-x)&1\\1&0&0&(3-x)\end{vmatrix}=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&0&0\\1&(-x)&0&0\\1&0&(1-x)&0\\1&0&0&(2-x)\end{vmatrix}=0}\)

Teraz rozwińmy wyznacznik względem pierwszego wiersza

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}(-x)&0&0\\0&(1-x)&0\\0&0&(2-x)\end{vmatrix}=0}\)

\(\displaystyle{ \left( -x\right) \left( 1-x\right) \left(2-x \right)=0}\)

\(\displaystyle{ x\left( x-1\right) \left(x-2 \right)=0}\)