Wektor własny macierzy symetrycznej.

[jablecznik]

Niech \(\displaystyle{ \vec{v}}\) będzie wektorem własnym macierzy symetrycznej \(\displaystyle{ A}\) i niech \(\displaystyle{ \vec{u}}\) będzie wektorem do niego ortogonalnym. Pokazać, że również wektory \(\displaystyle{ A\vec{v}}\) i \(\displaystyle{ \vec{u}}\) są prostopadłe. Czy wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\)?

Z prostopadłością \(\displaystyle{ A\vec{v}}\) i \(\displaystyle{ \vec{u}}\) raczej sobie poradziłem, głównie chodzi mi o to pytanie.

Z góry dzięki za odpowiedź.

[BettyBoo]

Dla macierzy stopnia 2 musi być, dla macierzy wyższego stopnia niekoniecznie.

Najłatwiej to zobaczyć na prostym przykładzie, a przykład ładnie widać geometrycznie w przestrzeni trójwymiarowej. Weźmy \(\displaystyle{ R^3}\) ze standardowym iloczynem skalarnym i załóżmy, że macierz A jest diagonalna z różnymi elementami na przekątnej. Wtedy ma ona 3 przestrzenie własne \(\displaystyle{ E_1,E_2,E_3}\) złożone z wektorów odpowiednio \(\displaystyle{ [t,0,0], [0,s,0], [0,0,k]}\). Wektor \(\displaystyle{ [1,1,0]}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ [0,0,1]}\) (który jest wektorem własnym), ale oczywiście nie jest wektorem własnym tej macierzy (bo do żadnej przestrzeni własnej nie należy).

Pozdrawiam.