Proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących zadań:
1. Znajdź wszystkie macierze A, dla których:
a) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix} * A = A * \begin{bmatrix} 1&2\\2&1\end{bmatrix}}\)
b) \(\displaystyle{ A^{2} = \begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix}}\)
Jeśli chodzi o podpunkt b) wydaje mi się, że jedynym rozwiązanie będzie macierz zerowa. Czy mam rację?
2. Znajdź macierze poniższych przekształceń liniowych w bazach standardowych:
a)\(\displaystyle{ L(x,y,z) = (3x+5y-2z,2x-y)}\)
b)\(\displaystyle{ L(x,y,z) = (x+y+z,-2x-z,-2y-z)}\)
Nie za bardzo wiem jak się zabrać za to zadanie dlatego proszę o wytłumaczenie rozwiązania
Z góry dziękuję za pomoc
Macierze, bazy standardowe
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Macierze, bazy standardowe
1) Niestety nie masz racji
Aby macierz A mogła spełniać te równości, to musi być stopnia 2, powiedzmy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\). Podstaw do warunków i rozwiąż.
2) Z definicji. Baza standardowa to jak sądzę kanoniczna. Co prawda nic nie napisałeś o tym przekształceniu, ale z z zapisu wnoszę, że w a) chodzi o przekształcenie \(\displaystyle{ L:R^3\to R^2}\) (w b \(\displaystyle{ L:R^3\to R^3}\)). Bazą kanoniczną jest układ wersorów kolejnych osi. Więc liczymy:
a) \(\displaystyle{ L(1,0,0)=(3,2),\ L(0,1,0)=(5,-1),\ L(0,0,1)=(-2,0)}\)
Jako, że to są już współrzędne tych wektorów w bazach standardowych, to piszemy macierz - jej kolumnami są kolejne obrazy wektorów bazowych, czyli
\(\displaystyle{ A_L=\begin{bmatrix} 3&5&-2\\ 2&-1&0\end{bmatrix}}\)
Jeśli popatrzysz dokładnie na dane do tego zadania oraz na odpowiedź to zobaczysz, że tak naprawdę można ją pisać od razu, bez żadnego obliczania - jasne w jaki sposób, prawda?
Pozdrawiam.
Aby macierz A mogła spełniać te równości, to musi być stopnia 2, powiedzmy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\). Podstaw do warunków i rozwiąż.
2) Z definicji. Baza standardowa to jak sądzę kanoniczna. Co prawda nic nie napisałeś o tym przekształceniu, ale z z zapisu wnoszę, że w a) chodzi o przekształcenie \(\displaystyle{ L:R^3\to R^2}\) (w b \(\displaystyle{ L:R^3\to R^3}\)). Bazą kanoniczną jest układ wersorów kolejnych osi. Więc liczymy:
a) \(\displaystyle{ L(1,0,0)=(3,2),\ L(0,1,0)=(5,-1),\ L(0,0,1)=(-2,0)}\)
Jako, że to są już współrzędne tych wektorów w bazach standardowych, to piszemy macierz - jej kolumnami są kolejne obrazy wektorów bazowych, czyli
\(\displaystyle{ A_L=\begin{bmatrix} 3&5&-2\\ 2&-1&0\end{bmatrix}}\)
Jeśli popatrzysz dokładnie na dane do tego zadania oraz na odpowiedź to zobaczysz, że tak naprawdę można ją pisać od razu, bez żadnego obliczania - jasne w jaki sposób, prawda?
Pozdrawiam.
-
wojtert
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 21 lis 2012, o 15:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ze wsi
- Podziękował: 6 razy
Macierze, bazy standardowe
A czy może być taka odpowiedź: \(\displaystyle{ A_L=\begin{bmatrix} 3&2 \\ 5&-1 \\ -2&0 \end{bmatrix}}\) ?
