Przekształcenia liniowe

[agnieszka6]

Bardzo prosze o pomoc z tymi zadaniami siedze nad nimi juz dwa dni i nic mi nie wychodzi

Znaleźć z definicji macierz podanego przekształcenia liniowego we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych:
\(\displaystyle{ L:R^{3} \rightarrow R^{2} \ L(x,y,z,t)=(x+y,z+t),
\vec{u}_{1}=(1,0,0,0),\vec{u}_{2}=(1,2,0,0),\vec{u}_{3}=(1,2,3,0),\vec{u}_{4}=(1,2,3,4),
\vec{v}_{1}=(1,0),\vec{v}_{2}=(1,2)}\)

Macierz przekształcenia liniowego\(\displaystyle{ L:U \rightarrow V}\)ma w bazach\(\displaystyle{ {\vec{u}_{1},\vec{u}_{1}},{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}}}\)przestrzeni liniowych U,V postać:

\(\displaystyle{ A_{L}=\left[\begin{array}{ccc}3&2\\-1&1\\2&-4\end{array}\right]}\)

Wyznaczyć obrazy podanych wektorów w tym przekształceniu:
a) \(\displaystyle{ \vec{u}=-2\vec{u}_{1}+3\vec{u}_{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \vec{u}=6\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}}\)

[BettyBoo]

1) Z definicji: kolumnami macierzy są współrzędne obrazów wektorów bazowych dziedziny w bazie przeciwdziedziny.

to liczymy:
\(\displaystyle{ L(1,0,0,0)=(1,0)=[1,0]_V,\ L(1,2,0,0)=(3,0)=[3,0]_V,\\ L(1,2,3,0)=(3,3)=a(1,0)+b(1,2),\ L(1,2,3,4)=(3,7)=c(1,0)+d(1,2)}\)

Jak łatwo obliczyć \(\displaystyle{ b=\frac{3}{2},\ a=\frac{3}{2},\ d=\frac{7}{2},\ c=-\frac{1}{2}}\)

Zatem współrzędne już mamy i macierzą L w podanych bazach jest wobec tego

\(\displaystyle{ A_L=\begin{bmatrix}1&3&\frac{3}{2}&\frac{-1}{2} \\ 0&0&\frac{3}{2}&\frac{7}{2}\end{bmatrix}}\)



2) Tutaj wystarczy wymnożyć macierz przez wektory współrzędnych. Ponieważ \(\displaystyle{ u=[-2,3]_U}\), to obraz u wyznaczymy za pomocą macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&2\\-1&1\\2&-4\end{array}\right]\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\5\\-16\end{bmatrix}}\),

czyli \(\displaystyle{ L(u)=5v_2-16v_3}\)

Pozdrawiam.

[agnieszka6]

Bardzo dziekuje za pomoc

[omen2]

Witam, sorry że odgrzewam temat ale mam do zrobienia podobnie zadanie i nie wiem jak to policzyć. Czy może ktoś rozpisać dokładniej to zadanie nr 2?
Dzięki z góry