obliczyć wyznacznik z literami

mik12v · Post autor: **mik12v** » 23 maja 2009, o 12:39

Witam, proszę o pomoc w obliczeniu tego wyznacznika, nie wiem co z czym pomnożyć i skrócić:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\a&b&c&d\\a^2&b^2&c^2&d^2\\a^3&b^3&c^3&d^3\end{array}\right]}\)

Za pomoc z góry dziękuję.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 23 maja 2009, o 12:52

Wskazowka:
za pomocą tej pierwszej jedynki w pierwszym wierszu wyzeruj \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ a ^{2}}\) i \(\displaystyle{ a^{3}}\)
pozniej w drugim wierszu w drugiej kolumnie bedziesz mial:\(\displaystyle{ b-a}\) . Zrob z tego jedynke i wyzeruj wszystko co stoi pod tym wyrazem. Doprowadz macierz do postaci trojkątnej dolnej/gornej. No i wtedy bedziesz widzial jaki jest wyznacznik.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 23 maja 2009, o 12:56

To jest klasyczy wyznacznik i wynosi:

\(\displaystyle{ (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)}\)

Wystarczy odjac pierwsza kolumne od pozostalych, rozwinac wzgledem pierwszego wiersza.

mik12v · Post autor: **mik12v** » 23 maja 2009, o 13:10

Domyśliłem się ze chodzi o wyzerowanie prze pierwsza jedynkę, wcześniej już własnie doszedłem do takiej postaci

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&b-a&c-a&d-a\\0&b^2-ab&c^2-ac&d^2-ad\\0&b^3-ab^2&c^3-ac^2&d^3-ad^2\end{array}\right]}\)

No i potem próbowałem robić to metodą Sarrusa wzglęgem jedynki z pierwszej kolumny i pierwszego rzędu, ale niestety wychodzi strasznie dużo mnożenia i wszystko się miesza :/...Miodzio jak doprowadzić to do tej postaci trójkątnej?? Nie widziałem jeszcze żadnego przykładu z czymś takim więc nie bardzo wiem :/...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 23 maja 2009, o 13:13

Drugi wiersz podziel przez \(\displaystyle{ b-a}\) No i znowu masz jedynkę(drugi wyraz w drugim wierszu) No i znowu zerujesz to co jest pod tą jedynką

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 23 maja 2009, o 13:20

Teraz sytuacja jest już przyjemna: rozwiń względem pierwszej kolumny, a następnie w otrzymanym wyznaczniku trzeciego stopnia wyciągnij przed wyznacznik z każdej kolumny wspólny czynnik.

mik12v · Post autor: **mik12v** » 23 maja 2009, o 13:33

Jeśli dobrze zrozumiałem to idąc twoimi krokami wychodzi coś takiego:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1& \frac{c-a}{b-a} & \frac{d-a}{b-a} \\0&0&c^2-b^2+ab-ac&d^2-b^2+ab-ad\\0&b^3-ab^2&c^3-ac^2&d^3-ad^2\end{array}\right]}\)

I dalej znów jestem zielony p.s strasznie opornie mi to wychodzi :/

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 23 maja 2009, o 13:38

Przyklad jest po prostu taki beznadziejny. Nie wiem czy ten moj sposob jest taki genialny....
Nie wiem czy warto jest to robic W TEN SPOSOB dalej. Zastosuj sie do rady Wasilewskiego lepiej. Myslałem, że moim sposobem wyjdzie , ale raczej nie....

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 23 maja 2009, o 13:40

To jest wyznacznik Vandermonde

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1102.pdf

Paragraf 9

mik12v · Post autor: **mik12v** » 23 maja 2009, o 13:42

xiikzodz dobrze to zrobiła, ale mogłabyś wytłumaczyć konkretnie jak?? Bo wiem że wynik masz dobry...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 23 maja 2009, o 13:43

Rozwiniecie Laplace'a +rada Wasilewskiego.

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 23 maja 2009, o 13:45

A już najlepszy pomysł to poszukać w jakiejś książce albo w sieci o wyznaczniku Vandermonde'a, jak to zasugerował mariuszm.

mik12v · Post autor: **mik12v** » 23 maja 2009, o 14:08

Dziękuję wszystkim za pomoc mariuszm dzięki za tego PDFa...