Wyznacznik macierzy wielomianowej

[tymka]

Chciałbym znaleźć rozwiązanie ogólne takiego równania

\(\displaystyle{ \left|s ^{2} \cdot A + s \cdot B+C \right|}\)

\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} a _{11} &a _{12} &... \\a _{21} &a _{22} &...\\..&..&..\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ B= \begin{bmatrix} b _{11} &b _{12} &... \\b _{21} &b _{22} &...\\..&..&..\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ C= \begin{bmatrix} c _{11} &c _{12} &... \\c _{21} &c _{22} &...\\..&..&..\end{bmatrix}}\)

Macierze \(\displaystyle{ A _{i,i} ,B _{i,i} ,C _{i,i}}\) kwadratowe o tym samym nieokreślonym wymiarze \(\displaystyle{ i=1..n}\)
Nie wiem czy da się to zrobic w tak ogólnym przypadku prosiłbym o wszelkie wskazówki jedyny pomysł jaki mam to próba sprowadzenia tego do postaci kanonicznej np. Jordana ale ten wyznacznik z macierzy przekształcenia do postaci kanonicznej nie był by wcale prostrzy od wyjściowego.
Z góry przepraszam za ewentualne nieścisłości w mojej wypowiedzi.

[Rogal]

Po pierwsze, to nie jest równanie.
Po drugie wzory na wyznacznik macierzy n x n są oczywiście, ale nie napawają optymizmem.

[Mariusz M]

Chciałbym znaleźć rozwiązanie ogólne takiego równania

\(\displaystyle{ \left|s ^{2} \cdot A + s \cdot B+C \right|}\)

\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} a _{11} &a _{12} &... \\a _{21} &a _{22} &...\\..&..&..\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ B= \begin{bmatrix} b _{11} &b _{12} &... \\b _{21} &b _{22} &...\\..&..&..\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ C= \begin{bmatrix} c _{11} &c _{12} &... \\c _{21} &c _{22} &...\\..&..&..\end{bmatrix}}\)

Macierze \(\displaystyle{ A _{i,i} ,B _{i,i} ,C _{i,i}}\) kwadratowe o tym samym nieokreślonym wymiarze \(\displaystyle{ i=1..n}\)
Nie wiem czy da się to zrobic w tak ogólnym przypadku prosiłbym o wszelkie wskazówki jedyny pomysł jaki mam to próba sprowadzenia tego do postaci kanonicznej np. Jordana ale ten wyznacznik z macierzy przekształcenia do postaci kanonicznej nie był by wcale prostrzy od wyjściowego.
Z góry przepraszam za ewentualne nieścisłości w mojej wypowiedzi.

Wyznacznik można obliczyć sumując iloczyny wszystkich permutacji
albo korzystając z rozwinięcia Laplace
Zaletą tych dwóch metod jest to że unikamy dzielenia (w tym także dzielenia przez zero)
Wadą jednak jest zbyt duża złożoność czasowa tych metod \(\displaystyle{ O \left(n!\right)}\)

Metoda eliminacji Gaussa której próbowałeś użyć i metoda rozkładu LU
mają mają złożoność czasową wielomianu trzeciego stopnia \(\displaystyle{ O \left(n^{3} \right)}\)
ale wymagają dzielenia

W metodzie eliminacji Gaussa zerować elementy można za pomocą
a) operacji elementarnych
b) mnożenia przez macierze ortogonalne (np obroty Givensa)

Rozkład LU może być dokonany za pomocą
a) metody eliminacji Gaussa
b) metody Doolittle
Metoda Doolittle polega na ułożeniu układu równań na podstawie wzoru na mnożenie macierzy
Układ ten łatwo rozwiązać metodą podstawiania wyznaczając na przemian wiersz macierzy U i kolumnę macierzy L
W metodzie rozkładu LU ważne jest wyznaczenie macierzy permutacji która pozwala ustalić znak wyznacznika
oraz obrazuje przestawienia wierszy