Macierz kwadratowa

[piotrekd4]

Rozważmy macierz kwadratową stopnia nieparzystego taką, że dla dowolnych \(\displaystyle{ i,j}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{ij} = -a_{ij}}\) (wynika stąd, że elementy na przekątnej są równe zero). Opierając się na definicji uzasadnij, że wyznacznik tej macierzy jest równy zero.

[Tomasz Rużycki]

Dla dowolnego \(\displaystyle{ \omega\in S_n}\) w iloczynie \(\displaystyle{ a_{1\omega(1)}\ldots a_{n\omega(n)}}\) występuje element z przekątnej, więc...

[kz]

Dla dowolnego \(\displaystyle{ \omega\in S_n}\) w iloczynie \(\displaystyle{ a_{1\omega(1)}\ldots a_{n\omega(n)}}\) występuje element z przekątnej, więc...

Chyba nie zawsze bo dla \(\displaystyle{ n=3}\) i dla:
\(\displaystyle{ \omega={1\,2\,3\choose 2\,3\,1}}\)
\(\displaystyle{ a_{1\omega(1)}\ldots a_{n\omega(n)}=a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}}\) nie musi być równe \(\displaystyle{ 0}\).


Element z przekątnej występuje na pewno dla tych \(\displaystyle{ \omega}\) które są odwrotne same do siebie.
Dla pozostałych \(\displaystyle{ f\in S_n}\) takich że \(\displaystyle{ f\not=f^{-1}}\) zachodzi :
\(\displaystyle{ a_{1f(1)}\ldots a_{nf(n)} + a_{1f^{-1}(1)}\ldots a_{nf^{-1}(n)}=0}\)
gdyż:
\(\displaystyle{ a_{1f(1)} \cdot ... \cdot a_{nf(n)}=
(-a_{f(1)1}) \cdot ... \cdot (-a_{f(n)n})=^{(*)}
-1\cdot a_{f(1)1} \cdot ... \cdot a_{f(n)n}=^{(**)}
-1\cdot a_{f(1)f^{-1}f(1)} \cdot ... \cdot a_{f(n)f^{-1}f(n)}=^{(***)}
-1\cdot a_{1f^{-1}(1)} \cdot ... \cdot a_{nf^{-1}(n)}}\)

* - bo n jest nieparzyste
** - \(\displaystyle{ f\cdot f^{-1}=id}\)
*** - gdyż \(\displaystyle{ f(n)}\) przebiega wszystkie liczby od 1. do n

[miodzio1988]

sorry mała pomyłka była tutaj oczywiscie kz ma rację