Podaj macierz funkcjonału dwuliniowego \(\displaystyle{ h:R^{3}->R}\)
\(\displaystyle{ B_{1}=( (2,2,2), (2,2,0), (2,0,0) )}\)
Jeśli ma on w bazie:
\(\displaystyle{ B_{2}=( (1,0,0), (0,1,1), (1,1,1) )}\)
macierz:
\(\displaystyle{ A_{2}=\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\3&1&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)
(b)
Oblicz dwoma sposobami h(x,x) jeśli wektor \(\displaystyle{ x}\) należący do \(\displaystyle{ R^{3}}\) ma w bazie
\(\displaystyle{ B_{3}=( (2,1,0), (0,1,2), (0,1,0) )}\) współrzędne \(\displaystyle{ x=[1,1,1]_{B_{3}'}}\).
Jeśli chodzi o punkt (a) to chciałem skorzystać tu z zależności:
Jeśli macierz P należąca do \(\displaystyle{ M_{n}(K)}\) jest macierzą przejścia z bazy B do bazy B' p.w.X(K), a funkcjonał dwuliniowy h:X \(\displaystyle{ \times}\) X ->K ma w powyzszych bazach macierze odpowiednio A,A' należace do \(\displaystyle{ M_{n}(K)}\)to \(\displaystyle{ A'=P^{T}AP}\)
ale nie wiem czy to twierdzenie fukcjonuje w odwrotna stronę;/ mianowicie czy można w tym przykładzie skorzystać w ten sposób, że: \(\displaystyle{ A_{1}=P^{T}A_{2}P}\) gdzie P jest macierzą przejścia z bazy B2 do B1, alenie uda mi się tu z tego skorzystac, bo
\(\displaystyle{ (2,2,0)=a(1,0,0)+b(0,1,1)+c(1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ a+c=2}\)
\(\displaystyle{ b+c=2}\)
\(\displaystyle{ b+c=0
}\) (*) 
więc nie uda mi się w tym przypadku... a czy można tak kombinować dla innych?
Jak można przekształcić wzór \(\displaystyle{ A'=P^{T}AP}\), żeby wyznaczyć z tego A
Próbowałem nawet w ten sposób, że w miejsce wyrazów macierzy A wstawiłem kolejno literki a,b,c... itd. wymnożyłem wszystko i przyrównałem to do macierzy A', ale znowu wyszły mi sprzeczności... Sam już nie wiem... co ja robię źle :?:
(b) Skoro znam współrzędne wektora x w podanej bazie, to mogę go odkryć: \(\displaystyle{ x= [2,3,2]}\) Skoro mam obliczyć \(\displaystyle{ h(x,x)}\) to domyślam się, że muszę utworzyć formę dwuliniową wykorzystując macierz \(\displaystyle{ A_{2}}\) i następnie obliczyć współrzędne wektora x w podanej bazie \(\displaystyle{ B_{2}}\) czyli \(\displaystyle{ h(x,x)=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+3x_{2}x_{1}+x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}}\) wektor [2,3,2] ma współrzędne w bazie B_{2} no właśnie i tu pojawia się problem taki sam jak w przypadku (*) :!: :!: :!: . Gdyby mi wyszły współrzędne powiedzmy [1,2,3] to jak obliczyłbym h(x,x) :?: i jaki mógłby być drugi sposób obliczenia tego :?:
Jestem w potrzasku... Proszę o pomoc.
Tą zależność akurat udałoby Ci się rozwiązać, bo B1 jest bazą - a to oznacza m.in., że każdy wektor ma jednoznaczne przedstawienie jako kombinacja liniowa wektorów bazy B1.