Dana jest forma kwadratowa \(\displaystyle{ f(x,y,z)=2x^2+y^2+2xz+4yz+3z^2}\). Proszę sprowadzić ją do postaci kanonicznej i znaleźć explicite odpowiedniej formy ortogonalnej.
Postać kanoniczną obliczyłem korzystając z metody Jacobiego. Wyznaczyłem macierz formy kwadratowej:
\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&1&2\\1&2&3\end{array}\right]}\)
obliczyłem \(\displaystyle{ \Delta_1=2 \ \Delta_2=2 \ \Delta_3=-3}\)
Postać kanoniczna powinna wyglądać:
\(\displaystyle{ f(x',y',z')= \frac{1}{2}x'^2+ y'^2- \frac{2}{3}z'^2}\)
Nie jestem pewien wyniku... ale najbardziej mnie interesuje zdanie: znaleźć explicite odpowiedniej formy ortogonalnej.
Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić co tutaj mam zrobić?
Forma kwadratowa i explicite
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Forma kwadratowa i explicite
"Explicite" to znaczy wyraźnie, dobitnie, jasno - w tym przypadku zapewne chodzi o "jawnie".
W Twoim poleceniu brakuje słów, póki co jest ono bez sensu
Pozdrawiam.
W Twoim poleceniu brakuje słów, póki co jest ono bez sensu
Pozdrawiam.
-
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 2 kwie 2008, o 18:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zawada Uzewska
- Podziękował: 1 raz
Forma kwadratowa i explicite
ok ;] znalazłem analogiczne zadanie ze słowem "jawne".
jak się będzie miało "Podaj jawnie postać transformacji." do mojego zadania? co muszę zrobić/obliczyć/zapisać? ;->
jak się będzie miało "Podaj jawnie postać transformacji." do mojego zadania? co muszę zrobić/obliczyć/zapisać? ;->
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Forma kwadratowa i explicite
No to musisz wyrazić \(\displaystyle{ x,y,z}\) za pomocą \(\displaystyle{ x^\prime,y^\prime,z^\prime}\) - czyli inaczej mówiąc, co wstawić za x,y,z, żeby dostać taką postać jak zapisałeś.
Sprawdź na wykładzie, jaką masz założyć postać bazy przestrzeni, w której ta forma ma postać diagonalną i ją znajdź ze wzorów (dla metody Jacobiego zwykle przyjmuje się tzw dolno- lub górnotrójkątną bazę - tzn taką, że macierz zmiany bazy P jest dolno- lub górnotrójkątna).
Wówczas wzór transformacji współrzędnych dostajesz z zależności \(\displaystyle{ X=PX'}\)
Można też macierz P wyznaczyć za pomocą przekształceń ortogonalnych (mimo, że źle brzmi jest to łatwiejsze, bo wówczas kolumnami P są współrzędne wektorów bazy ortonormalnej (której elementami są wektory własne macierzy formy), w której macierz formy ma postać kanoniczną).
Pozdrawiam.
Sprawdź na wykładzie, jaką masz założyć postać bazy przestrzeni, w której ta forma ma postać diagonalną i ją znajdź ze wzorów (dla metody Jacobiego zwykle przyjmuje się tzw dolno- lub górnotrójkątną bazę - tzn taką, że macierz zmiany bazy P jest dolno- lub górnotrójkątna).
Wówczas wzór transformacji współrzędnych dostajesz z zależności \(\displaystyle{ X=PX'}\)
Można też macierz P wyznaczyć za pomocą przekształceń ortogonalnych (mimo, że źle brzmi jest to łatwiejsze, bo wówczas kolumnami P są współrzędne wektorów bazy ortonormalnej (której elementami są wektory własne macierzy formy), w której macierz formy ma postać kanoniczną).
Pozdrawiam.