odległość między prostymi

[K4rol]

\(\displaystyle{ A(1,2,1)\ B(3,-1,2)\ \in l_{1}}\)

\(\displaystyle{ C(1,0,2)\ D(2,1,3)\ \in l_{2}}\)

wyznacz odległść między prostami \(\displaystyle{ l_{1}\ l_{2}}\)

czy mogę zbadać odległość między dwoma punktami? np A a C? jeśli nie to nie wiem jak to zrobić..

[BettyBoo]

Z definicji A definicja jest taka, że to najmniejsza z odległości między dowolnie wybranymi punktami tych prostych.

Piszesz najpierw równania prostych i sprawdzasz ich wzajemne położenie.

1) proste się pokrywają lub przecinają - odległość jest równa 0

2) proste są równoległe, ale się nie pokrywają - wtedy odległość między nimi jest równa odległości jednej prostej od dowolnego punktu na drugiej prostej

3) proste są skośne - wtedy tworzysz płaszczyznę zawierającą jedną prostą i równoległą do drugiej (aby to zrobić wystarczy zauważyć, że wektor normalny tej płaszczyzny jest równoległy do iloczynu wektorowego wektorów kierunkowych prostych). Wówczas odległość prostych to odległość między tą płaszczyzną i dowolnym punktem na drugiej prostej.

Pozdrawiam.

[K4rol]

ta właśnie zauważyłem że coś tu nie tak

te proste są skośne, więc odległość mógłbym wyliczyć z

\(\displaystyle{ d=\frac{||(m_{1}\times m_{2}) \cdot (r_{2}-r_{1})||}{||m_{1}m_{2}||}}\)

gdzie

\(\displaystyle{ r_{2}-r_{1}=\vec{AC}}\)

edit:

hm... chyba jednak są prostopadłe :>

czyli:

\(\displaystyle{ m_{1}\cdot m_{2}=0}\)

\(\displaystyle{ l_{1}\perp l_{2}}\)

\(\displaystyle{ d(l_{1},l_{2})=0}\)

czy tak?

[BettyBoo]

Położenie prostych a kąt między nimi to dwie odrębne sprawy. Proste prostopadłe mogą się przecinać, ale nie muszą, mogą być też skośne.

To, co pisałam o prostych skośnych to definicja odległości prostych skośnych. Jeśli możesz korzystać z tego wzoru powyżej to fajnie, ale on tak nie wygląda W mianowniku powinna być długość iloczynu wektorowego, a w liczniku zwykły moduł.

Wzór powstał ze wzoru na rzut wektora na wektor.

Pozdrawiam.

[K4rol]

BettyBoo, hmm...

to czy prawdą jest że:

\(\displaystyle{ l_{1}\perp l_{2} \Leftrightarrow m_{1}\perp m_{2} \Leftrightarrow m_{1}\cdot m_{2}=0}\)
?

[BettyBoo]

Tak, to prawda, ale to nadal nie ma nic wspólnego z odległością.

Pozdrawiam.

[K4rol]

1) proste się pokrywają lub przecinają - odległość jest równa 0

a.. chyba chwytam.. to że są prostopadłe nie znaczy że się przecinają tak? bo przecie tu jest trójwymiar, a ja przywykłem tylko do XY ;]

[BettyBoo]

No właśnie tak
Pozdrawiam.

[K4rol]

BettyBoo, to mogłabyś jeszcze ten wzór napisać? bo jak czytam Twego posta, i porównuje do tego co mieliśmy na wykładzie, to nie widzę czegoś podobnego :/

[BettyBoo]

Powiedz raczej, że porównujesz do tego, co Ty zapisałeś na wykładzie

\(\displaystyle{ d=\frac{|(m_{1}\times m_{2}) \cdot (r_{2}-r_{1})|}{||m_{1}\times m_{2}||}}\)

Pozdrawiam.

[K4rol]

i to jest wzór na odległość dwóch prostych prostopadłych tak? słowo że nie miałem tego na wykładzie.. nasz profesor ostatnio lubi dawać w pr. domowych to czego jeszcze nie było na wykładzie :>

czyli:

\(\displaystyle{ d=\frac{||((2,-3,1)\times (1,1,1))\cdot (1-1,0-2,2-1)||}{||(2,-3,1)\times (1,1,1)||}=\frac{7}{\sqrt{42}}}\)

[BettyBoo]

Nie, to jest wzór na odległość prostych skośnych. Zapomnij wreszcie o tej prostopadłości

Już się zgubiłam - to w końcu miałeś ten wzór na wykładzie czy nie? Bo coś kręcisz...

Wynik masz dobrze.

Pozdrawiam.

[K4rol]

BettyBoo, hehee

ODLEGŁOŚĆ DWÓCH PROSTYCH SKOŚNYCH

\(\displaystyle{ d=\frac{||(m_{1}\times m_{2})\cdot (r_{2}-r_{1})||}{||m_{1}m_{2}||}}\)

taki wzór mam z wykładu tyle że to na proste skośne.. a te przecież są prostopadłe!!:>

[BettyBoo]

No normalnie się załamię zaraz Uparciuszek z Ciebie.

Notuj uważniej i odczep się od tej prostopadłości
Poprawny wzór zapisałam Ci 4 posty wyżej.

Pozdrawiam.

[K4rol]

argh.. źle przepisałem :O wzór mam taki:

\(\displaystyle{ d=\frac{|(m_{1}\times m_{2})\cdot (r_{2}-r_{1})|}{||m_{1}m_{2}||}}\)

czy słusznie jeśli stwierdzę, że źle przepisałem wzór? :> że w mianowniku ma być iloczyn wektorowy, a nie skalarny?