przestrzeń nieskończenie wymiarowa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
wiosna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 2 maja 2008, o 14:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: poznań
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

przestrzeń nieskończenie wymiarowa

Post autor: wiosna »

Niech R będzie przestrzenią nieskończenie wymiarową nad ciałem K. \(\displaystyle{ dim _{K}R=\infty}\) mam dane wektory\(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3},.......}\), które są liniowo zależne nad K, ( jest ich nieskończenie wiele). Czy z faktu że są one liniowo zależne wynika, że skończona kombinacja liniowa niektórych z nich daje wektor należacy do zbioru\(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3},.......}\)???
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

przestrzeń nieskończenie wymiarowa

Post autor: max »

Z definicji:
zbiór wektorów jest liniowo zależny, gdy nie jest liniowo niezależny.
zbiór wektorów jest liniowo niezależny, gdy każdy skończony podzbiór jest liniowo niezależny.
skończony zbiór wektorów jest liniowo niezależny.

Jeśli więc zbiór wektorów jest liniowo zależny, to z definicji oznacza to dokładnie tyle, że istnieje taki jego skończony podzbiór, że pewna nietrywialna kombinacja liniowa wektorów w nim zawartych jest zerowa. Powiedzmy:
\(\displaystyle{ \sum_{l=1}^{n}\lambda_{l}a_{i_{l}} = 0}\)
oraz \(\displaystyle{ \lambda_{1} \neq 0.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \sum_{l=2}^{n}-\frac{\lambda_{l}}{\lambda_{1}}a_{i_{l}} = a_{l_{1}}.}\)

Ponadto w strukturze przestrzeni wektorowej definiuje się na ogół jedynie skończone sumy, więc trudno mówić o nieskończonych kombinacjach liniowych dopóki nie wprowadzimy dodatkowo na naszej przestrzeni wektorowej jakiejś topologii.
ODPOWIEDZ