przestrzeń nieskończenie wymiarowa
- wiosna
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 2 maja 2008, o 14:01
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: poznań
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 1 raz
przestrzeń nieskończenie wymiarowa
Niech R będzie przestrzenią nieskończenie wymiarową nad ciałem K. \(\displaystyle{ dim _{K}R=\infty}\) mam dane wektory\(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3},.......}\), które są liniowo zależne nad K, ( jest ich nieskończenie wiele). Czy z faktu że są one liniowo zależne wynika, że skończona kombinacja liniowa niektórych z nich daje wektor należacy do zbioru\(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3},.......}\)???
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
przestrzeń nieskończenie wymiarowa
Z definicji:
zbiór wektorów jest liniowo zależny, gdy nie jest liniowo niezależny.
zbiór wektorów jest liniowo niezależny, gdy każdy skończony podzbiór jest liniowo niezależny.
skończony zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
Jeśli więc zbiór wektorów jest liniowo zależny, to z definicji oznacza to dokładnie tyle, że istnieje taki jego skończony podzbiór, że pewna nietrywialna kombinacja liniowa wektorów w nim zawartych jest zerowa. Powiedzmy:
\(\displaystyle{ \sum_{l=1}^{n}\lambda_{l}a_{i_{l}} = 0}\)
oraz \(\displaystyle{ \lambda_{1} \neq 0.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \sum_{l=2}^{n}-\frac{\lambda_{l}}{\lambda_{1}}a_{i_{l}} = a_{l_{1}}.}\)
Ponadto w strukturze przestrzeni wektorowej definiuje się na ogół jedynie skończone sumy, więc trudno mówić o nieskończonych kombinacjach liniowych dopóki nie wprowadzimy dodatkowo na naszej przestrzeni wektorowej jakiejś topologii.
zbiór wektorów jest liniowo zależny, gdy nie jest liniowo niezależny.
zbiór wektorów jest liniowo niezależny, gdy każdy skończony podzbiór jest liniowo niezależny.
skończony zbiór wektorów jest liniowo niezależny.
Jeśli więc zbiór wektorów jest liniowo zależny, to z definicji oznacza to dokładnie tyle, że istnieje taki jego skończony podzbiór, że pewna nietrywialna kombinacja liniowa wektorów w nim zawartych jest zerowa. Powiedzmy:
\(\displaystyle{ \sum_{l=1}^{n}\lambda_{l}a_{i_{l}} = 0}\)
oraz \(\displaystyle{ \lambda_{1} \neq 0.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \sum_{l=2}^{n}-\frac{\lambda_{l}}{\lambda_{1}}a_{i_{l}} = a_{l_{1}}.}\)
Ponadto w strukturze przestrzeni wektorowej definiuje się na ogół jedynie skończone sumy, więc trudno mówić o nieskończonych kombinacjach liniowych dopóki nie wprowadzimy dodatkowo na naszej przestrzeni wektorowej jakiejś topologii.