1). W przestrzni wektorowej zadano metrykę g(x, y). Proszę pokazać, ze po wprowadzeniu bazy liczba
g(x, y) moze być dla danych dwóch wektorów wyliczona przez pomnozenie trzech macierzy: dwóch
związanych z reprezentacjami wektorow x i y , i jednej macierzy kwadratowej g niosącej pełną informację
o metryce. Proszę rozwazyć osobno przypadki dwuliniowe i osobno przypadki półtoraliniowe. Jaki jest
przepis na macierz g ? Jak zmienia się macierz metryki g przy przejściu do nowej bazy, jezeli macierz
przejścia jest B (osobno dla przypadków dwuliniowych i osobno dla półtoraliniowych)?
2). Szczególnym przypadkiem iloczynu skalarnego wektorów jest iloczyn wektora przez siebie. W reprezentacji
taki iloczyn jest formą kwadratową składowych wektora.
Proszę znaleźć macierz g symetrycznej metryki prowadzącej do formy kwadratowej:
\(\displaystyle{ f(x,y,z) = 2x ^{2} + 3z ^{2} - 6xy + 8xz}\)
Czy mozna wskazać inną metrykę, niekoniecznie symetryczną, prowadzącą do tej samej formy kwadratowej?
Proszę napisać formę kwadratową, do ktorej prowadzi dwuliniowa metryka o macierzy
\(\displaystyle{ g=\begin{bmatrix} 2&-2&1&8\\-2&0&2&0\\1&2&1&0\\8&0&0&3\end{bmatrix}}\)
Proszę napisać formę kwadratową, do ktorej prowadzi półtoraliniowa metryka o macierzy
\(\displaystyle{ g=\begin{bmatrix} 1&i&1+i\\-i&3&2\\1-i&2&5\end{bmatrix}}\)
Bardzo proszę o pomoc