Macierz odwrotna

RedFalcon · Post autor: **RedFalcon** » 3 mar 2006, o 14:51

Jak policzyć macierz odwrotną macierzy 4x4 ? Macierzy 3x3 potrafię. Czy ktoś mógłby wyjaśnić co się robi w przypadku macierzy większej niż 3x3?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 3 mar 2006, o 16:04

Tak samo: liczysz wyznacznik, jeśli różny od zera to można macierz odwrócić, tworzysz macierz dopełnień algebraicznych, mnożysz przez odwrotność wyznacznika, transponujesz i gotowe.

RedFalcon · Post autor: **RedFalcon** » 3 mar 2006, o 16:10

Jeśli mam np.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{array}\right]}\)

To dopełnienie algebraiczne jak wygląda ?

1+1=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}6&7&8\\10&11&12\\14&15&16\end{array}\right]}\) ?

I co dalej z tym zrobić? Prosiłbym o jakiś przykład...

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 3 mar 2006, o 16:26

Dopełnienie algebraiczne elementu ij macierzy to minor tego elementu pomnożony przez (-1)^(i+j). Minor elementu ij macierzy to wyznacznik macierzy powstałej z wyjściowej poprzez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny, czyli w Twoim przypadku dla elementu 1,1 minorem jest wyznacznik macierzy 3x3 stojącej w lewym dolnym rogu macierzy wyjściowej, tak, jak napisałeś. Z czym masz teraz problem? Z policzeniem tego wyznacznika?

RedFalcon · Post autor: **RedFalcon** » 3 mar 2006, o 16:32

Czyli licze wyznacznik z tego 1+1 (np.) np. metodą Sarusa? A ile ich będzie dla 4x4 ? Oraz co później z tymi wyznacznikami zrobić? Dodać je ?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 3 mar 2006, o 16:38

Nie. Wyznaczników będzie tyle, ile masz elementów w macierzy, czyli 16.
Ty masz wyznaczniki 3x3 i owszem, możesz je policzyć metodą Sarrusa, gdy będą to wyzn. 4x4 (w macierzy 5x5) no to trzeba pomyśleć nad rozwiązaniem (np. rozwinięcie Laplace'a).
Każdy policzony wyznacznik wstawiasz na miejsce elementu, dla którego był liczony (czyli ten pierwszy na miejscu 1,1) i mnożysz jeszcze przez minus jeden podniesione do potęgi, którą jedt suma nru wiersza i nru kolumny danego elementu, czyli pierwszy ten wyznacznik mnożysz przez (-1)^(1+1)=1.

Poczytaj sobie o odwracaniu macierzy.

RedFalcon · Post autor: **RedFalcon** » 3 mar 2006, o 16:52

Ok już rozumiem - a dla potęgi 1+2 już będzie -1. A jeszcze jedno pytanie : minory robie w sposób : 1,1 / 1,2 / 1,3 / 1,4 , następnie 2,1 / ... tak ? (tj usuwanie wiersza,kolumny ) ?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 3 mar 2006, o 16:54

Usuwanie?

Liczysz dopełnienia algebraiczne /w szczególności minory/ dla każdego elementu i zastępujesz dany element tym dopełnieniem.

Jedyna co "usuwasz", tzn. "wirtualnie" skreślasz sobie w myśli czy na kartce wiersz i kolumnę, do których należy element, dla którego w danej chwili liczysz dopełnienie.

RedFalcon · Post autor: **RedFalcon** » 3 mar 2006, o 16:58

Tak o to mi chodziło . Ale wg tego schematu co podałem ?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 3 mar 2006, o 17:13

Jeżeli chodzi Ci o kolejność /bo nie wiem, o co Ci chodzi/ to jest dowolna, wcześniejszy ruch nie wpływa na następny, cały czas wracasz do macierzy wyjściowej licząc dopełnienia, dopiero w macierzy dopełnień wpisujesz te dopełnienia na miejsca elementów.

RedFalcon · Post autor: **RedFalcon** » 3 mar 2006, o 17:15

Więc po 1+1 jaki będzie?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 3 mar 2006, o 18:07

Co jaki będzie?? Będzie którykolwiek inny minor => dopełnienie

RedFalcon · Post autor: **RedFalcon** » 3 mar 2006, o 19:45

W książce spotkałem się, że dla macierzy 4x4 są minory : 1,1 / 2,3 / 3,4 / 4,3 to dobrze? Takie robić ?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 3 mar 2006, o 20:05

Dla każdej macierzy minorów jest tyle co elementów bo dla każdego z nich je liczysz!

RedFalcon · Post autor: **RedFalcon** » 3 mar 2006, o 20:11

Acha. Rozumiem już co do ilości - czyli 1,1 / 1,2 / itd ? aż do 4,4 ?