Określ rząd macierzy

[Ośka]

Witam Koleżanki i Kolegów.

Mam prośbę. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć mechanizm określania macierzy uzupełnionej(rozszerzonej), na poniższym przykładzie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&0& \left|3\\0&-1&3& \left|1\\1&0&0& \left|1\end{bmatrix}}\)

Macierz A= 3x3
Macierz U= 3x(3+1)

PYTANIE:
Czy aby wyznaczyć rząd macierzy U należy zawsze tworzyć podmacierz z ostatnią kolumną(uzupełnioną)?
Czy rząd macierzy U może być wyznaczony z macierzy A

czyli rzA=rz\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&-1&3\\1&0&0\end{bmatrix}}\) i rzU=rz\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&-1&3\\1&0&0\end{bmatrix}}\)?

Pozdrawiam

[BettyBoo]

Mając obliczony (odpowiednio !) rząd U możesz określić bez liczenia rząd A, w drugą stronę to nie działa. Odpowiednio oznacza tyle, że do obliczeń nie możesz wykorzystywać ostatniej kolumny (chociaż ona się oczywiście zmienia). Jeśli się nie wykorzystuje ostatniej kolumny do obliczeń, to dla obliczenia rzędu macierzy A można wykonać te same obliczenia, co dla obliczenia rzędu macierzy U (aby je zobaczyć, wystarczy "zakryć" na każdym kroku obliczeń ostatnią kolumnę macierzy U). Ale uwaga, rząd A można wywnioskować z rzędu U, co nie znaczy, że jest taki sam (może być o 1 mniejszy).

Pozdrawiam.

[Ośka]

Nie do końca to zrozumiałem.
Może inaczej to przedstawię i jeszcze raz zadam pytanie.
Mając macierz uzupełniona U
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&0& \left|3\\0&-1&3& \left|1\\1&0&0& \left|1\end{bmatrix}}\)
Wyznaczając rząd macierzy uzupełnionej należy wyznaczać wyznaczniki tylko takich podmacierzy(3x3)w których kolumna wolnych wyrazów zastepuje kolumny poszczególnych wyrazów niewiadomych.
1.\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0& \left|3\\-1&3& \left|1\\0&0& \left|1\end{bmatrix}}\)

2.\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0& \left|3\\0&3& \left|1\\1&0& \left|1\end{bmatrix}}\)

3.\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&1& \left|3\\0&-1& \left|1\\1&0& \left|1\end{bmatrix}}\)

Czy tez rząd macierzy U jest wyznaczany także z macierzy utworzonej z współczynników stojących przy niewiadomych.

4.\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&-1&3\\1&0&0\end{bmatrix}}\)

Mam nadzieje że wyjaśniłem o co mi chodzi.
Pozdrawiam

[BettyBoo]

Wyjaśniłeś dokładnie. Odpowiedź brzmi: tak, bierzemy pod uwagę także rząd A, więc rząd U może być wyznaczony z rzędu A, o ile wyznacznik A jest niezerowym minorem największego możliwego stopnia.

W każdym razie, rzędu macierzy nie oblicza się z definicji dla macierzy, które maja więcej niż 2 wiersze lub więcej niż 2 kolumny, bo to katorga straszna Do tego służą przekształcenia elementarne oraz twierdzenie zmniejszające wymiar macierzy (odpowiednik twierdzenia Laplace'a dla wyznaczników).

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Wyjaśniłeś dokładnie. Odpowiedź brzmi: tak, bierzemy pod uwagę także rząd A, więc rząd U może być wyznaczony z rzędu A, o ile wyznacznik A jest niezerowym minorem największego możliwego stopnia.

W każdym razie, rzędu macierzy nie oblicza się z definicji dla macierzy, które maja więcej niż 2 wiersze lub więcej niż 2 kolumny, bo to katorga straszna Do tego służą przekształcenia elementarne oraz twierdzenie zmniejszające wymiar macierzy (odpowiednik twierdzenia Laplace'a dla wyznaczników).

Pozdrawiam.

@BettyBoo jakie twierdzenie pozwala zmniejszyć wymiar macierzy

Wyznacznik jest równy zero gdy jeden z wierszy (kolumn) jest kombinacją liniową innych wierszy (kolumn)

[BettyBoo]

Twierdzenie: Jeżeli w macierzy A wiersz i-ty (lub: kolumna j-ta) zawiera dokładnie jeden niezerowy element, stojący w kolumnie j-tej (wierszu i-tym), a macierz B powstaje z A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny, to rzA=1+rzB.

Oczywiście, jeśli takiego wiersza (lub kolumny) nie ma, to można je sobie wygenerować przekształceniami elementarnymi, bo żadne z nich nie zmienia rzędu macierzy.

Powyższe twierdzenie redukuje wymiar macierzy (każdą składową o 1), dla której obliczamy rząd, ostatecznie więc problem (po pewnej ilości kroków) redukuje się do obliczania rzędu macierzy, która ma 2 wiersze (lub 2 kolumny) - a wówczas nie ma co liczyć, bo rząd widać od razu.

Pozdrawiam.