macierz przekształcenia

[pumbosza]

Witam mam takie zadanko, w sumie to je jakoś tam rozwiązałem, ale wątpię, że dobrze więc prosiłbym o pomoc, wystarczą mi same wyniki, to wtedy sobie sprawdzę. PZDR

Wyznaczyc macierz \(\displaystyle{ M^A_B (F)}\) przekształcenia \(\displaystyle{ F : R1[x] \rightarrow R2[x]}\) danego wzorem \(\displaystyle{ F(w(x)) =
xw(x) + (2 − x)w'(x) + (1 − x)w(0)}\) w bazach \(\displaystyle{ A = (x, 1) i B = (x2, x, 1)}\). Sprawdzic, czy układ
\(\displaystyle{ C = (x2 + 2x, 2x2 + 5x + 1, x2 + 4x + 1)}\) jest baza przestrzeni R2[x]. Jesli tak, to korzystajac z
macierzy zmiany bazy wyznaczyc \(\displaystyle{ M^A_C (F)}\)

[BettyBoo]

Jak mniemam, \(\displaystyle{ x2\to x^2}\)??

\(\displaystyle{ M_B^A(F)=\begin{bmatrix} 1&0\\ 2&2\\ 0&0\end{bmatrix}}\)

C jest bazą więc \(\displaystyle{ M_C^A(F)=\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 2&5&4\\ 0&1&1\end{bmatrix}^{-1}M_B^A(F)}\)

Pozdrawiam.

[pumbosza]

oki dzięki, mam jeszcze jedno pytanko, jak powinno się sprawdzac, czy układ jest bazą, tzn jak sprawdziłeś, czy C jest bazą w R3??

[BettyBoo]

Tworzysz macierz, która jest de facto macierzą przejścia, o ile układ jest bazą - tzn macierz, której kolejnymi kolumnami są współrzędne wektorów bazowych w jakiejś danej (lub znanej) bazie i sprawdzasz jej wyznacznik (lub rząd, co wolisz). Jeśli wyznacznik jest różny od zera (lub: rząd jest równy ilości wektorów) to układ jest bazą. W Twoim przypadku chodzi o zbadanie wyznacznika (lub rzędu) macierzy

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1\\ 2&5&4\\ 0&1&1\end{bmatrix}}\)

Pozdrawiam.