iloczyn wektorowy/skalarny

[fermat]

witam, jak się oblicza kąty między dwoma wektorami?

można wyjaśnić na przykładzie:

\(\displaystyle{ A = [-1,2,1]}\)
\(\displaystyle{ B = [1,-1,3]}\)

Jak będzie wyglądał sinus i cosinus kąta między nimi?

[izzzi]

Jeśli przyjmiemy że \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między naszymi wektorami to \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \vec{A} \cdot \vec{B} }{\| \vec{A}\| \cdot \| \vec{B} \|}}\)
W naszym przypadku te wektory są prostopadłe bo ich iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{A} \cdot \vec{B}=-1-2 +3=0}\)

[fermat]

Jeśli przyjmiemy że \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między naszymi wektorami to \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{ \vec{A} \cdot \vec{B} }{\| \vec{A}\| \cdot \| \vec{B} \|}}\)
W naszym przypadku te wektory są prostopadłe bo ich iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \vec{A} \cdot \vec{B}=-1-2 +3=0}\)

dzięki, a jeszcze jakby wyglądał iloczyn wektorowy? czy sam sinus między wektorami.

[izzzi]

No jak masz cosinus to sinus z jedynki można wyprowadzić.
Aby obliczyć iloczyn wektorowy to zapisujesz sobie
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\-1&2&1\\1&-1&3\end{array}\right|}\)
liczysz wyznacznik stosując metode Laplaca wzdłuż pierwszego wiersza i otrzymujesz
\(\displaystyle{ \vec{i} \cdot 7- \vec{j} \cdot (-4)+ \vec{k} \cdot (-1)}\)
Wektory \(\displaystyle{ \vec{i}, \vec{j} , \vec{k}}\) to wektory jednostkowe \(\displaystyle{ \vec{i} =[1,0,0], \vec{j} =[0,1,0], \vec{k} =[0,0,1]}\) zatem nasz ilocznyn wektorowy to \(\displaystyle{ [7,4,-1]}\)

[fermat]

dzięki śliczne