Przekształcenia liniowe

[piotrekd4]

Niech V będzie przestrzenią liniową, a U jej podprzestrzenią. Pokaż, że istnieją przekształcenia liniowe L i M przestrzeni V w siebie takie, że U jest jądrem L oraz U jest obrazem M.

[BettyBoo]

Niech B będzie bazą podprzestrzeni U. Wtedy tę bazę można uzupełnić do bazy A całej przestrzeni V (czyli tak wybrać bazę A, żeby \(\displaystyle{ B\subseteq A}\))

No i teraz już łatwo zdefiniować odpowiednie przekształcenia L i M - wystarczy podać ich wartości na wektorach bazowych \(\displaystyle{ a_j}\) bazy A

\(\displaystyle{ L(a_j)=\begin{cases} 0\quad a_j\in B\\ a_j\quad a_j\in A\setminus B\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ M(a_j)=\begin{cases} a_j\quad a_j\in B\\ 0\quad a_j\in A\setminus B\end{cases}}\)

Pozdrawiam.