przeciwobraz podprzestrzeni liniowej
-
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
przeciwobraz podprzestrzeni liniowej
Niech U,V będą przestrzeniami nad tym samym ciałem F i niech \(\displaystyle{ L:U\to V,\ K\leq L(U)\leq V}\). Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ L^{-1}(K)}\) jest podprzestrzenią U. Oczywiście \(\displaystyle{ L^{-1}(K)}\) jest niepustym (bo 0 tam należy) podzbiorem U (z definicji), więc trzeba tylko pokazać, że
Ponieważ K jest przestrzenią liniową, to z liniowości L i definicji przeciwobrazu mamy
\(\displaystyle{ L(ax+by)=aL(x)+bL(y)=as+bt\in K\ \Leftrightarrow \ ax+by\in L^{-1}(K)}\) .
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \forall\,x,y\in L^{-1}(K)\ \forall\,a,b\in F\quad ax+by\in L^{-1}(K)}\).
Z definicji przeciwobrazu mamy \(\displaystyle{ x,y\in L^{-1}(K)\ \Leftrightarrow \ \exists\,t,s\in K\quad L(x)=s,\ L(y)=t}\).Ponieważ K jest przestrzenią liniową, to z liniowości L i definicji przeciwobrazu mamy
\(\displaystyle{ L(ax+by)=aL(x)+bL(y)=as+bt\in K\ \Leftrightarrow \ ax+by\in L^{-1}(K)}\) .
Pozdrawiam.