przeciwobraz podprzestrzeni liniowej

[piotrekd4]

Pokaż, że przeciwobraz podprzestrzeni liniowej w przekształceniu liniowym jest podprzestrzenią liniową.

[BettyBoo]

Niech U,V będą przestrzeniami nad tym samym ciałem F i niech \(\displaystyle{ L:U\to V,\ K\leq L(U)\leq V}\). Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ L^{-1}(K)}\) jest podprzestrzenią U. Oczywiście \(\displaystyle{ L^{-1}(K)}\) jest niepustym (bo 0 tam należy) podzbiorem U (z definicji), więc trzeba tylko pokazać, że

\(\displaystyle{ \forall\,x,y\in L^{-1}(K)\ \forall\,a,b\in F\quad ax+by\in L^{-1}(K)}\).

Z definicji przeciwobrazu mamy \(\displaystyle{ x,y\in L^{-1}(K)\ \Leftrightarrow \ \exists\,t,s\in K\quad L(x)=s,\ L(y)=t}\).

Ponieważ K jest przestrzenią liniową, to z liniowości L i definicji przeciwobrazu mamy

\(\displaystyle{ L(ax+by)=aL(x)+bL(y)=as+bt\in K\ \Leftrightarrow \ ax+by\in L^{-1}(K)}\) .

Pozdrawiam.