przestrzeń wektorowa, iloczyn skalarny

[Skyline]

W n-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej z niezdegenerowanym, dodatnio określonym iloczynem skalarnym, wybrano ortonormalną bazę \(\displaystyle{ \left( e_{1}, e_{2},...,e_{n} \right)}\). Ortonormalność bazy oznacza, że iloczyny skalarne wektorów bazowych (jednych przez drugie, każdego z każdym) spełniają warunek \(\displaystyle{ g\left(e_{i}, e_{j}\right)}\) . Można więc powiedzieć, że wszystkie wektory mają jednostkową normę i są do siebie „prostopadłe” – każdy do każdego. Proszę udowodnić, że obliczenie iloczynu skalarnego dowolnych dwóch wektorów (niekoniecznie bazowych) z tej przestrzeni, zapisanych w reprezentacji w ortonormalnej bazie, sprowadza się do obliczenia iloczynu macierzy \(\displaystyle{ X ^{T}Y}\) , gdzie kolumnowe macierze \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są reprezentacjami tych wektorów.

Prosiłbym o podpowiedź jak do tego trzeba się zabrać, bo zadania z wykazaniem czegoś na ogólnym przykładzie nie są niestety moją mocną stroną...

[BettyBoo]

Wystarczy skorzystać z definicji: iloczynu skalarnego, współrzędnych wektora w bazie oraz bazy ortonormalnej (podanej nota bene w zadaniu).

Pozdrawiam.