Układ równań

[GreenGo]

Witam,
mam problemik z takim zadankiem:

Podaj rozwiązania układu równań w zależności od parametru \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\):
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} px+qy = 2pq \\ qx + py = p^2 + q^2 \end{array}}\)

Z góry dzięki za pomoc. Pozdrawiam.

[BettyBoo]

Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (które można znaleźć ze wzorów Cramera) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy współczynników jest różny od zera. W Twoim przypadku jest on równy \(\displaystyle{ p^2-q^2}\) i jest równy zero gdy p=q lub p=-q. Te dwa przypadki robisz osobno.

Pozdrwiam.

[GreenGo]

A możesz np. jeden z przypadków rozpisać ? Waśnie nie mogę zrozumieć jak to zrobić z Cramera :/

[BettyBoo]

Te osobne przypadki to zdecydowanie nie z Cramera, bo przecież wyznacznik główny jest równy 0

Dla p=q układ ma postać

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} px+py = 2p^2 \\ px + py = 2p^2\end{array}}\)
a więc mamy jedno równanie.

Jeśli p=0, to rozwiązaniem jest dowolny punkt z \(\displaystyle{ R^2}\) (o ile to układ nad R), a jeśli nie, to wtedy można stąd wyliczyć np x i rozwiązanie jest postaci

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2p-t \\y=t\\ t\in\mathbb{R}\end{cases}}\)

Pozdrawiam.