szukanie wektorów własnych

[justyna0811]

Mam pewien problem ze znalezieniem rozwiązania równania różniczkowego mając taki układ

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-4\\1&-1\end{array}\right]}\)

Otóż wychodzi mi że mamy tutaj 2 te same wartości własne czyli r=1 i szukam wektorów własnych jeden z nich to np. wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\1/2\end{array}\right]}\) i muszę znaleźć kolejny tylko nie bardzo wiem jak.
Bardzo proszę o pomoc przy tym zadaniu i wytłumaczenie ogólnie jak należy szukać tych wektorów

-- 10 maja 2009, 18:30 --

Ale przecież to jest temat z równań różniczkowych więc dlaczego został przeniesiony do algebry?

Bo więcej w tym pytaniu algebry niż RR. luka52

Jak dla mnie to nie bardzo

[luka52]

1 jest zdegenerowaną wartością własną i odpowiada jej tylko jeden wektor własny. Ew. jak bardzo Ci zależy na drugim wektorze własnym, możesz wziąć dowolny liniowo zależny wektor do [1,1/2].

Jak dla mnie to nie bardzo

Pytasz jak wyznaczyć wektor własny i piszesz, że zadanie jest "nie bardzo" z algebry liniowej? ...

[justyna0811]

Ale przecież właśnie chodzi o to, że on nie może być liniowo zależny, bo wtedy nadal nie będziemy mieli rozwiązania naszego równania różniczkowego.Jest pewna metoda na szukanie tych wektorów ale ja nie bardzo ją rozumiem dlatego myślałam, że ktoś mnie oświeci.Jak widać myliłam się

[luka52]

Czy ja piszę niewyraźnie, czy Ty masz problemy z czytaniem? Napisałem przecież, że:

1 jest zdegenerowaną wartością własną i odpowiada jej tylko jeden wektor własny.

Chwila szukania w sieci i można znaleźć takie oto zdanie, które być może uświadomi Ci gdzie tkwi problem:

While an \(\displaystyle{ n \times n}\) matrix always has \(\displaystyle{ n}\) eigenvalues, some or all of which may be degenerate, such a matrix may have between 0 and \(\displaystyle{ n}\) linearly independent eigenvectors.

Czyli: macierz \(\displaystyle{ n \times n}\) ma zawsze \(\displaystyle{ n}\) wartości własnych, niektóre z nich mogą być zdegenerowane, taka macierz ma wtedy od 0 do \(\displaystyle{ n}\) liniowo niezależnych wektorów własnych...