1) Podać przykład takiej pary macierzy \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2} M_{2x2}(R)}\) , że istnieje endomorfizm \(\displaystyle{ \phi: R^2 R^2}\) oraz bazy \(\displaystyle{ B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^2}\) spełniające \(\displaystyle{ A_{i} = M(\phi)_{B_{i}}^{C_{i}}}\) dla \(\displaystyle{ i = 1,2}\), ale nie istnieje endomorfizm \(\displaystyle{ \phi: R^2 R^2}\) oraz bazy \(\displaystyle{ B_{1}, B_{2}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^2}\) spełniające \(\displaystyle{ A_{i} = M(\phi)_{B_{i}}^{B_{i}}}\) dla \(\displaystyle{ i = 1,2}\).
Tutaj wydaje mi się, że drugi warunek oznacza, że te macierze nie mogą być podobne - nie są macierzami tego samego endomorfizmu. Ale co dalej?
2) Niech \(\displaystyle{ A M_{n x n}(K)}\). Wykazać, że jeśli jedyną macierzą w \(\displaystyle{ M_{n x n}(K)}\) podobną do \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ A = aI}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a K}\).