współrzędne wektora w bazie

[rozek]

Znaleźć współrzędne wektora \(\displaystyle{ (1,2,1)}\) w bazie \(\displaystyle{ { (1,1,1), (2,3,1), (3,7,0) }}\)

[Gotta]

\(\displaystyle{ (1,2,1)=\alpha_1(1,1,1)+\alpha_2(2,3,1)+\alpha_3(3,7,0)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3=1\\ \alpha_1+3\alpha_2+7\alpha_3=2\\ \alpha_1+\alpha_2=1 \end{cases}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_1=4 \\ \alpha_2=-3\\ \alpha_3=1 \end{cases}}\)
Czyli wektor ma współrzędna \(\displaystyle{ [4,-3,1]}\)