zbadać liniową niezależność funkcji

[rozek]

Przyszedł czas i na mnie gdy nie znajduję satysfakcjonującego mnie posta który naprowadziłby mnie na rozwiązanie więc postanowiłem poprosić o pomoc sam

zbadać liniową niezależność funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=x+1}\)
\(\displaystyle{ g(x)= \sqrt{ x^{2} }}\) (w jakim celu jest tu ten pierwiastek i kwadrat zamiast po prostu g(x)=x?)
\(\displaystyle{ h(x)=x+2}\)

a) na przedziale \(\displaystyle{ [1, \infty ]}\)
b) na zbiorze \(\displaystyle{ R}\)

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ g(x)= \sqrt{ x^{2} }}\) (w jakim celu jest tu ten pierwiastek i kwadrat zamiast po prostu g(x)=x?)

a od kiedy to "w ciemno" można stwierdzić, że \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=x}\)? w sejmie tak przegłosowali, czy co?

a) mamy trzy funkcje: x+1, x, x+2. widać, że \(\displaystyle{ x+1=\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot (x+2)}\) czyli są liniowo zależne.
b) mamy trzy funkcje: x+1, |x|, x+2. gdyby były liniowo zależne, to każda z nich jest kombinacją liniową pozostałych dwóch. czyli np. |x|=a(x+1)+b(x+2)=(a+b)x+(a+2b). czyli dla x=0 mamy |0|=0=a+2b. dla x=1 mamy |1|=1=2a+3b. dla x=-1 mamy |-1|=1=b. widać, że jest to sprzeczny układ równań. czyli nie są liniowo zależne, czyli są liniowo niezależne

[rozek]

nie można. znaczy można, w pierwszym wypadku

dzięki wielkie