przestrzeń wektorowa..

[krytyczny]

1. Wykazać że w przestrzeni wektorowej (C,+;R;*) liczby
\(\displaystyle{ z_{1}=1+i \ z_{2}=2-i \sqrt{3} \ z_{3}=3+2i}\)
są liniowo zależne. Podać przyklad bazy tej przestrzeni.

2. wykazać że jeśli e1,e2,e3 tworzą bazę przestrzeni wektorowej V, to e1, e1-e2, e2-e3 też tworzą bazę przestrzeni V

3. W \(\displaystyle{ R^{3}}\) dane są wektory \(\displaystyle{ v_{1}=(1,2,0) \ v_{2}=( \alpha ,0,\beta) \ v_{3}=(0, \gamma, 1) \ Wskazac \ : \alpha \beta \gamma \ takie \ aby \ uklad \ {v_{1}, \ v_{2}, \ v_{3}}\)
był liniowo zależny.


Proszę o pomoc

[BettyBoo]

1) \(\displaystyle{ e_1=1,\ e_2=i}\), bo każda liczba zespolona ma jednoznaczny zapis w postaci \(\displaystyle{ ae_1+be_2}\).
Ponieważ baza to maksymalny układ liniowo niezależny, więc żadne 3 wektory nie mogą być liniowo niezależne - te podane również

2) wystarczy pokazać, że macierz, której kolumnami są współrzędne wektorów jest odwracalna, tzn jest macierzą przejścia - wystarczy więc obliczyć jej wyznacznik:
\(\displaystyle{ |P|=\begin{vmatrix} 1&1&0 \\ 0&-1&1\\ 0&0&-1\end{vmatrix}=1\neq 0}\)

3) Wystarczy, aby wyznacznik był równy 0

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&\alpha&0 \\ 2&0&\gamma\\ 0&\beta&1\end{vmatrix}=0}\)
Rozwiązujesz równanie i masz warunek.

Pozdrawiam.

[krytyczny]

dzięki

Nadal mam trudności ze zrozumieniem 1 (pewnie braki w znajomości teorii )

[BettyBoo]

Czego konkretnie nie rozumiesz w 1)?
Pozdrawiam.