Operator liniowy, wektor własny i wartość własna

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Watari
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 171
Rejestracja: 1 lis 2008, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 3 razy

Operator liniowy, wektor własny i wartość własna

Post autor: Watari »

1)Macierz operatora A ma w bazie \(\displaystyle{ e_{1},e_{2},e_{3}}\) postać \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&2&0\\3&0&-1\\2&5&3\end{bmatrix}}\). Proszę obliczyć macierz tego operatora w bazie:
\(\displaystyle{ f_{1}=e_{1} , f_{2}=e_{1}+e_{2}, f_{3}=e_{1}+e_{2}+e_{3}}\)

2)W dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej dana jest baza \(\displaystyle{ e_{1},e_{2}}\). Macierz operatora A w bazie \(\displaystyle{ f_{1}=-3e_{1}+7e_{2} , f_{2}=e_{1}-2e_{2}}\) jest równa \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1\\5&-3\end{bmatrix}}\) , a macierz operatora B w bazie \(\displaystyle{ g_{1}=6e_{1}-7e_{2} , g_{2}=-5e_{1}+6e_{2}}\) jest równa \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3\\2&7\end{bmatrix}}\). Proszę wyliczyć macierz operatora AB w bazie \(\displaystyle{ e_{1},e_{2}}\).

3)Operator liniowy A działa w n-wymiarowej przestrzeni wektorowej, co opisujemy Ax=y. Działanie to, zapisane w reprezentacji, ma postać mnożenia macierzy kwadratowej A reprezentującej operator A przez kolumny liczb X reprezentujące wektory x. W wyniku tego mnożenia dostajemy kolumny Y reprezentujące wektory y: AX=Y. Prosze pokazać, że powstające w ten sposób kolumny liczb Y są kombinacjami liniowymi kolumn liczb występujących w macierzy A.
Wektory y, powstające z wektorów x pod działaniem operatora A, tworzą przestrzeń wektorową. Jaki jest związek między wymiarem tej przestrzeni i strukturą macierzy A..
Czy zbiór wektorów y, powstających w wyżej opisany sposób, może utworzyć przestrzeń, w której liczba wymiarów będzie większa, niż liczba wymiarów przestrzeni, z której pochodzą wektory x?

4)W dwuwymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej wybrano bazę \(\displaystyle{ (e_{1}, e_{2})}\). O pewnym operatorze liniowym A wiadomo, że:
\(\displaystyle{ A(2e_{1}-e_{2})=3e_{1}+7e_{2}}\)
\(\displaystyle{ A(e_{1}-e_{2})=e_{1}+4e_{2}}\)
Na tej podstawie proszę odtworzyć macierzową reprezentację operatora A w bazie \(\displaystyle{ (e_{1},e_{2})}\).

5)Przyjmijmy, że wektorami są kolumny liczb, a operatorami-macierze kwadratowe. Proszę znaleźć wektor własny i wartość własną dla macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-2&0\\-2&1&-2\\0&-2&0\end{bmatrix}}\)


Bardzo proszę o pomoc.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Operator liniowy, wektor własny i wartość własna

Post autor: BettyBoo »

cały bajer polega na używaniu non stop tych samych dwóch wzorów:
AX=Y oraz X'=PX
Jeśli X, Y są wektorami współrzędnych w bazie B, to A jest macierzą operatora w bazie B i na odwrót: jeśli A jest macierzą operatora w bazie B, to X i Y są wektorami współrzędnych w bazie B.
Jeśli X jest wektorem współrzędnych w bazie C ("starej") oraz X' jest wektorem współrzędnych tego samego wektora, tylko w bazie D ("nowej") to P jest macierzą przejścia od C do D, której kolumnami są współrzędne wektorów bazy D w bazie C. I odwrotnie - jeśli P jest odpowiednią macierzą przejścia, to X,X' są odpowiednimi wektorami.

Z tych zależności masz wszystkie wzory - w zadaniach 1,4,5 wystarczy podstawić do wzoru na macierz operatora w innej bazie \(\displaystyle{ M=P^{-1}AP}\); w zadaniu 2 trzeba dodatkowo pamiętać, że macierz operatora AB to iloczyn macierzy operatora A i operatora B.

Zad 3)
część 1 - wynika wprost z definicji mnożenia macierzy;
część 2 - wymiar obrazu jest równy rzędowi macierzy A;
część 3 - nie, co wynika z tego, że rząd macierzy nie może być większy niż ilość wierszy (a ta ilość z definicji macierzy odwzorowania jest równa wymiarowi dziedziny).
Watari
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 171
Rejestracja: 1 lis 2008, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 3 razy

Operator liniowy, wektor własny i wartość własna

Post autor: Watari »

Teorię znam, ale nie bardzo wiem jak to zastosować tutaj w praktyce, no może poza zad 1.
Zad 5-jak wyliczyć wartość własną i wektor własny?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Operator liniowy, wektor własny i wartość własna

Post autor: BettyBoo »

5) wartości własne to pierwiastki równania charakterystycznego \(\displaystyle{ det(A-\lambda E)=0}\). Jak je obliczysz, to potem dla każdej obliczonej wartości własnej szukasz wektorów własnych rozwiązując układ równań \(\displaystyle{ (A-\lambda E)X=0}\).


4) Weźmy \(\displaystyle{ E=(e_1,e_2)}\), \(\displaystyle{ B=(2e_{1}-e_{2},e_{1}-e_{2})}\), więc macierz przejścia od E do B to \(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix}2&1 \\ -1&-1\end{bmatrix}}\) - kolumnami tej macierzy są współrzędne wektorów bazy B w bazie E - wektor \(\displaystyle{ 2e_{1}-e_{2}}\) ma współrzędne [2,-1], a wektor \(\displaystyle{ e_{1}-e_{2}}\) ma współrzędne [1,-1].
Teraz, z podanych zależności masz macierz \(\displaystyle{ M=\begin{bmatrix}3&1\\ 7&4\end{bmatrix}}\) i jest to macierz tego odwzorowania w bazie B w dziedzinie i E w przeciwdziedzinie. Ponieważ w dziedzinie też chcesz mieć bazę E, to trzeba zmienić bazę dziedziny - przejść od B do E - zatem macierzą przejścia jest \(\displaystyle{ P^{-1}}\), a szukana macierz to \(\displaystyle{ MP^{-1}}\)

Można to zadanie rozwiązać też wprost korzystając z liniowości operatora: z warunków masz
\(\displaystyle{ 2A(e_{1})-A(e_{2})=3e_{1}+7e_{2}\ \wedge\ A(e_{1})-A(e_{2})=e_{1}+4e_{2}}\)
Rozwiązania tego układu równań to będą kolumny macierzy, której szukasz.


2) dla A macierz \(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix}-3&1 \\ 7&-2\end{bmatrix}}\) jest macierzą przejścia od \(\displaystyle{ E=(e_1,e_2)}\) do \(\displaystyle{ F=(-3e_{1}+7e_{2} , e_{1}-2e_{2} )}\) oraz \(\displaystyle{ M=\begin{bmatrix} 2&-1\\5&-3\end{bmatrix}}\) jest macierzą w obu bazach F.
Ciebie interesuje macierz w obu bazach E, więc i w dziedzinie i przeciwdziedzinie trzeba przejść od F do E - macierz tego przejścia jest odwrotna do P, więc ostatecznie macierzą operatora w bazie E jest \(\displaystyle{ PMP^{-1}}\).
Dla B analogicznie. Odpowiedzią jest iloczyn otrzymanych macierzy.

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 4 maja 2009, o 14:27 przez BettyBoo, łącznie zmieniany 1 raz.
Skyline
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 4 maja 2009, o 11:49
Płeć: Mężczyzna

Operator liniowy, wektor własny i wartość własna

Post autor: Skyline »

BettyBoo pisze:cały bajer polega na używaniu non stop tych samych dwóch wzorów:
AX=Y oraz X'=PX
Jeśli X, Y są wektorami współrzędnych w bazie B, to A jest macierzą operatora w bazie B i na odwrót: jeśli A jest macierzą operatora w bazie B, to X i Y są wektorami współrzędnych w bazie B.
Jeśli X jest wektorem współrzędnych w bazie C ("starej") oraz X' jest wektorem współrzędnych tego samego wektora, tylko w bazie D ("nowej") to P jest macierzą przejścia od C do D, której kolumnami są współrzędne wektorów bazy D w bazie C. I odwrotnie - jeśli P jest odpowiednią macierzą przejścia, to X,X' są odpowiednimi wektorami.

Z tych zależności masz wszystkie wzory - w zadaniach 1,4,5 wystarczy podstawić do wzoru na macierz operatora w innej bazie \(\displaystyle{ M=P^{-1}AP}\); w zadaniu 2 trzeba dodatkowo pamiętać, że macierz operatora AB to iloczyn macierzy operatora A i operatora B.
Wszystko fajnie, ale ja osobiście nie wiem jak się za to zabrać. Można by prosić o jakiś przykład przekształcenia?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Operator liniowy, wektor własny i wartość własna

Post autor: BettyBoo »

Skyline pisze: Wszystko fajnie, ale ja osobiście nie wiem jak się za to zabrać. Można by prosić o jakiś przykład przekształcenia?
Tzn czego nie wiesz? Bo nie bardzo wiem, na co pisać przykład. Zastosowanie do tych konkretnych zadań jest w moim poprzednim poście, a jeśli masz inny problem, to najlepiej załóż osobny wątek.

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ