Potrzebuje rozwiązać takie równanie:
\(\displaystyle{ A ^{T}XB^{-1}=2E}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\3&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ E=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)
równanie macierzowe
-
debianek89
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 8 lis 2008, o 12:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
równanie macierzowe
Możemy rozwiazac na 2 sposoby
1.
\(\displaystyle{ A^{T}XB^{-1} = 2E}\)
\(\displaystyle{ XB^{-1} = (A^{T})^{-1} \cdot 2E}\)
\(\displaystyle{ X=(A^{T})^{-1} \cdot 2E \cdot B}\)
\(\displaystyle{ A^T = \begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ (A^T)^{-1} = \begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&1\\3&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}2&0\\-2&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&1\\3&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}2&2\\4&0\end{bmatrix}}\)
2.
za X podstawiamy macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ B^{-1} = \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a&b\\a+c&b+d\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} a + \frac{3}{2}b & \frac{1}{2}a- \frac{1}{2} b\\- \frac{1}{2}a- \frac{1}{2} c + \frac{3}{2}b+ \frac{3}{2}d & \frac{1}{2}a+ \frac{1}{2}c- \frac{1}{2} b- \frac{1}{2} d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} - \frac{1}{2} a + \frac{3}{2}b=2 \\ \frac{1}{2}a- \frac{1}{2} b=0 \\ - \frac{1}{2}a- \frac{1}{2} c + \frac{3}{2}b+ \frac{3}{2}d =0 \\ \frac{1}{2}a+ \frac{1}{2}c- \frac{1}{2} b- \frac{1}{2} d=2\end{cases}}\)
rozwiazujesz układ równań i otrzymujesz
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=2 \\ c=4 \\d=0 \end{cases}}\)
wpisujesz w macierz \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}2&2\\4&0\end{bmatrix}}\)
1.
\(\displaystyle{ A^{T}XB^{-1} = 2E}\)
\(\displaystyle{ XB^{-1} = (A^{T})^{-1} \cdot 2E}\)
\(\displaystyle{ X=(A^{T})^{-1} \cdot 2E \cdot B}\)
\(\displaystyle{ A^T = \begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ (A^T)^{-1} = \begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&1\\3&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}2&0\\-2&2\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&1\\3&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}2&2\\4&0\end{bmatrix}}\)
2.
za X podstawiamy macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ B^{-1} = \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a&b\\a+c&b+d\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}- \frac{1}{2} a + \frac{3}{2}b & \frac{1}{2}a- \frac{1}{2} b\\- \frac{1}{2}a- \frac{1}{2} c + \frac{3}{2}b+ \frac{3}{2}d & \frac{1}{2}a+ \frac{1}{2}c- \frac{1}{2} b- \frac{1}{2} d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} - \frac{1}{2} a + \frac{3}{2}b=2 \\ \frac{1}{2}a- \frac{1}{2} b=0 \\ - \frac{1}{2}a- \frac{1}{2} c + \frac{3}{2}b+ \frac{3}{2}d =0 \\ \frac{1}{2}a+ \frac{1}{2}c- \frac{1}{2} b- \frac{1}{2} d=2\end{cases}}\)
rozwiazujesz układ równań i otrzymujesz
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=2 \\ b=2 \\ c=4 \\d=0 \end{cases}}\)
wpisujesz w macierz \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix}2&2\\4&0\end{bmatrix}}\)