W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) rozpatrujemy podzbiory:
\(\displaystyle{ V_{1}= \lbrace(x,y,z), x=0 \rbrace
V_2 = \lbrace (x,y,z) xy=0 \rbrace
V_3 = \lbrace (x,y,z) y \neq 0 \rbrace}\)
Które z nich są podprzestrzeniami liniowymi. Podaj interpretację graficzną.
Nie rozumiem jak się za to zabrać ;]. Nie wiem jak wygląda interpretacja graficzna. Proszę o pomoc ....
Podprzestrzenie liniowe
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Podprzestrzenie liniowe
1) najlepiej z warunku (*): jeśli a,b są dowolnymi elementami ciała, x,y są dowolnymi wektorami z V, to ax+by musi należeć do V
Warunkiem przynależności do V jest, żeby pierwsza współrzędna się zerowała, zatem wektory z V1 są postaci (0,y,z) dla dowolnych rzeczywistych y,z. No to weźmy dwa dowolne wektory takiej postaci i pokażemy, że spełniają warunek (*). Ponieważ mamy a(0,m,k)+b(0,s,t)=(0, am+bs, ak+kt) i obie współrzędne są rzeczywiste, to warunek jest spełniony, czyli jest to podprzestrzeń w R^3
2) warunek oznacza, że x=0 lub y=0; no to weźmy wektory (1,0,0) oraz (0,1,0); jak widać ich suma jest wektorem (1,1,0), a taki nie należy do V2, czyli V2 nie jest podprzestrzenią
3) wektor (0,0,0) nie należy do V3, więc to nie podprzestrzeń
graficznie: jaki obszar w R^3 jest opisany każdym równaniem? to pierwsze to oczywiście płaszczyzna YOZ, to drugie (ponieważ warunek jest równoważny x=0 lub y=0) to są dwie płaszczyzny YOZ oraz XOZ, trzeci to cała przestrzeń z wyłączeniem płaszczyzny o równaniu y=0, czyli XOZ.
Pozdrawiam.
Warunkiem przynależności do V jest, żeby pierwsza współrzędna się zerowała, zatem wektory z V1 są postaci (0,y,z) dla dowolnych rzeczywistych y,z. No to weźmy dwa dowolne wektory takiej postaci i pokażemy, że spełniają warunek (*). Ponieważ mamy a(0,m,k)+b(0,s,t)=(0, am+bs, ak+kt) i obie współrzędne są rzeczywiste, to warunek jest spełniony, czyli jest to podprzestrzeń w R^3
2) warunek oznacza, że x=0 lub y=0; no to weźmy wektory (1,0,0) oraz (0,1,0); jak widać ich suma jest wektorem (1,1,0), a taki nie należy do V2, czyli V2 nie jest podprzestrzenią
3) wektor (0,0,0) nie należy do V3, więc to nie podprzestrzeń
graficznie: jaki obszar w R^3 jest opisany każdym równaniem? to pierwsze to oczywiście płaszczyzna YOZ, to drugie (ponieważ warunek jest równoważny x=0 lub y=0) to są dwie płaszczyzny YOZ oraz XOZ, trzeci to cała przestrzeń z wyłączeniem płaszczyzny o równaniu y=0, czyli XOZ.
Pozdrawiam.