Podprzestrzenie liniowe

[farianek]

Określić, które z podanych zbiorów U, W, X, Y są podprzestrzeniami liniowymi wskazanych przestrzeni liniowych V:
\(\displaystyle{ V= R^{2}, U= \lbrace(x,y) : |x-y| \le 1\rbrace, W=\lbrace(x,y):ln(1-x^{2}-y^{2}) \ge 0\rbrace,
X=\lbrace(x,y):9x^{2}+12xy+4y^{2}=0\rbrace, Y = \lbrace(x,y): 3x^{2} + 5xy -2y^{2}\rbrace;}\)

W odpowiedziach jest, że podprzestrzeniami są zbiory W i X.

Nie rozumiem dlaczego, bo przecież
na przykład, gdy wezmę w zbiorze X taki wektor (1,1), to po podstawieniu mam 9+12+4 a to jest różne od zera :/

Proszę o wytłumaczenie, bo na pewno robie coś źle:]

[Ralf1410]

Punkt (1,1) należy do V,ale nie należy do X , więc nie możesz go podstawić.

\(\displaystyle{ X \subset V}\) ale nie jest równe.-- 20 kwi 2009, o 22:31 --Żeby udowodnić,że to jest podprzestrzeń liniowa,nie wystarczy pokazać,że jest przestrzenią liniową?

[BettyBoo]

Po rozwiązaniu warunków okazuje się, że zbiór W to punkt (0,0), więc to oczywiście podprzestrzeń w V (tzw podprzestrzeń zerowa), natomiast do X należą punkty o współrzędnych \(\displaystyle{ \left(x,-\frac{3}{2}x\right)}\) (bo warunek ma postać \(\displaystyle{ (3x+2y)^2=0}\)), więc to oczywiście jest podprzestrzeń (bo jest to prosta przechodząca przez (0,0)). Jak sam wyżej napisałeś, punkt (1,1) nie należy do X, bo nie spełnia warunku przynależności, więc nie musisz się nim przejmować

U podprzestrzenią nie jest, wystarczy wziąć (1,0)+(1,0)=(2,0), a więc istnieją wektory w U, których suma nie należy do U; we wzorze na Y brakuje znaku równości, ale pewnie też da się zrobić coś w ten deseń.

Pozdrawiam.