Witam, studiuje na I roku informatyki, część semestru spędziłem w szpitalu Właśnie się dowiedziałem, że mam w tym tygodniu napisać kolokwium z algebry liniowej, prosiłbym o pomoc gdyż raczej nie zdąrze się przygotować, a posiadam zadania które będą na tym kolokwium (lub będą podobne ) Z góry serdecznie dziękuje za jakąkolwiek pomoc
Zadanie 1
Sprawdź, czy zbiór W jest przestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) jeśli
W = {(x,y,z) \(\displaystyle{ \in R^{3}}\) : x + 4y = 0 \(\displaystyle{ \wedge}\) 3x i z = 0
Zadanie 2
Wektor \(\displaystyle{ \vec{w}}\) ma w bazie B = { \(\displaystyle{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}}}\) } współrzędne \(\displaystyle{ [0,1,-2]_{B}}\) Znajdź jego współrzędne w bazie :
\(\displaystyle{ B^{'}}\) = { \(\displaystyle{ \vec{2b_{1}} + \vec{b_{2}} - \vec{3b_{3}}, \vec{3b_{1}} + \vec{2b_{2}} - \vec{5b_{3}}, \vec{b_{1}} - \vec{b_{2}} + \vec{b_{3}}}\) }
Zadanie 3
Znajdź bazę i wymiar przestrzeni liniowej
V = { (x,y,z,t ) \(\displaystyle{ \in R^{4}}\) : x + y - 2z - t = y + 2t = 3x + y + t }
Zadanie 4
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A = (3,0,0), B = (1,4,2), C = (-1,2,5)
Zadanie 5
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt P = (1,2,3) i prostopadłej do wektorów w =(-1,0,2 ) oraz v = (2,1,-1 )
Zadanie 6
Wektory w = (1,3,-2) oraz v = (-1,1,1 ) uzupełnij do bazy ortogonalnej przestrzeni \(\displaystyle{ E^{3}}\) i znajdź współrzędne wektora x = (12,-4,7) w tej bazie
Zadanie 7
W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) znajdź macierz przejścia od bazy
{ (1,1,1), (1,0,1), (0,0,1) } do bazy { (2,0,1), (1,1,1), (0,1,1) }
7 zadań z algebry liniowej
-
aikon
- Użytkownik
- Posty: 450
- Rejestracja: 2 gru 2005, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 48 razy
7 zadań z algebry liniowej
Na razie zad. 4 bo na resztę nie mam teraz czasu
Więc tak.. pole trójkąta jest połową pola równoległoboku rozpietego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\). Wzór na pole równoległoboku: \(\displaystyle{ P = | \vec{a} \vec{b} |}\).
A więc masz:
A = (3,0,0), B = (1,4,2), C = (-1,2,5)
Zatem
\(\displaystyle{ \vec{AB} = (-2,4,2)}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC} = (-4,2,5)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|\vec{AB} \vec{AC}| = \frac{1}{2} | ft[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-2&4&2\\-4&2&5\end{array}\right] |}\)
Ten wyznacznik jest prosty do policzenia za pomocą reguły Sarrusa:
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}|-16i +2j +12k| =}\)
No i tu za pomocą wzoru na długośc wektora (czyli pierwiastek sumy kwadratów współrzędnych) :
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \sqrt{(-16)^{2} + 2^{2} + 12^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{404}}\)
Proponuje żebyś sobie samemu przeliczył to jeszcze raz, bo mogłem sie gdzieś rypnąc w obliczeniach Ale sposób rozumowania jest chyba dobry
Więc tak.. pole trójkąta jest połową pola równoległoboku rozpietego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\). Wzór na pole równoległoboku: \(\displaystyle{ P = | \vec{a} \vec{b} |}\).
A więc masz:
A = (3,0,0), B = (1,4,2), C = (-1,2,5)
Zatem
\(\displaystyle{ \vec{AB} = (-2,4,2)}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC} = (-4,2,5)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|\vec{AB} \vec{AC}| = \frac{1}{2} | ft[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-2&4&2\\-4&2&5\end{array}\right] |}\)
Ten wyznacznik jest prosty do policzenia za pomocą reguły Sarrusa:
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}|-16i +2j +12k| =}\)
No i tu za pomocą wzoru na długośc wektora (czyli pierwiastek sumy kwadratów współrzędnych) :
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} \sqrt{(-16)^{2} + 2^{2} + 12^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{404}}\)
Proponuje żebyś sobie samemu przeliczył to jeszcze raz, bo mogłem sie gdzieś rypnąc w obliczeniach Ale sposób rozumowania jest chyba dobry
-
aikon
- Użytkownik
- Posty: 450
- Rejestracja: 2 gru 2005, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 48 razy
7 zadań z algebry liniowej
Zadanie 5.
Skoro prosta jest prostopadła do wektorów \(\displaystyle{ \vec{w}=(-1,0,2 )}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}=(2,1,-1 )}\), to jest równoległa do wektora \(\displaystyle{ \vec{a} = \vec{w} \vec{v}}\). Wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oblicza się tak samo jak w poprzednim zadaniu, ze wzoru na iloczyn wektorowy.
Liczymy wyznacznik macierzy:
det\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&0&2\\2&1&-1\end{array}\right] = -2i +3j -k}\)
Szukana prosta przechodzi przez punkt P = (1,2,3) i jest równoległa do tego wektora który wyszedł z macierzy, czyli (-2,3,-1). No więc ma ona postać:
\(\displaystyle{ l: (x,y,z) = (1,2,3) + t(-2,3,-1)}\)
Zapisując w innej postaci:
\(\displaystyle{ l: ft{\begin{array}{l}x=1-2t\\y=2+3t\\z=3-t\end{array}}\)
A w jeszcze innej postaci (równanie kierunkowe) wygląda ona tak:
\(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{-1}}\)
Mam nadzieje że sie nigdzie nie walnąłem w rachunkach
Skoro prosta jest prostopadła do wektorów \(\displaystyle{ \vec{w}=(-1,0,2 )}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}=(2,1,-1 )}\), to jest równoległa do wektora \(\displaystyle{ \vec{a} = \vec{w} \vec{v}}\). Wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) oblicza się tak samo jak w poprzednim zadaniu, ze wzoru na iloczyn wektorowy.
Liczymy wyznacznik macierzy:
det\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&0&2\\2&1&-1\end{array}\right] = -2i +3j -k}\)
Szukana prosta przechodzi przez punkt P = (1,2,3) i jest równoległa do tego wektora który wyszedł z macierzy, czyli (-2,3,-1). No więc ma ona postać:
\(\displaystyle{ l: (x,y,z) = (1,2,3) + t(-2,3,-1)}\)
Zapisując w innej postaci:
\(\displaystyle{ l: ft{\begin{array}{l}x=1-2t\\y=2+3t\\z=3-t\end{array}}\)
A w jeszcze innej postaci (równanie kierunkowe) wygląda ona tak:
\(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{-1}}\)
Mam nadzieje że sie nigdzie nie walnąłem w rachunkach