Wektory - kilka zadań

[Watari]

1) Rozważamy przestrzeń wektorową złożoną z n-elementowych kolumn
liczbowych. Proszę pokazać, że jest to przestrzeń n-wymiarowa

2)Sprawdzić, czy podane wektory są bazami w odpowiednich przestrzeniach:
a)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\-1\\1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\\-1\end{bmatrix}}\)

b)\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2\\-1\\3\\8\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\\0\\3\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\)


3)W przestrzeni 3-liczbowych kolumn wybrano trójkę wektorów:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\2\\-3\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\1\\2\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\0\\4\end{bmatrix}}\)
Proszę sprawdzić, że jest to baza i znależć współczynniki rozkładu wektora \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2\\-1\\3\end{bmatrix}}\) w tej bazie.

4)Proszę znaleźć wymiar powłoki liniowej napiętej na wektorach:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\-1\\3\\3\end{bmatrix}}\),\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\\2\\-1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\-3\\4\\7\end{bmatrix}}\)

5) Czy zestaw czterech trójliczbowych kolumn może być bazą?



Bardzo proszę o pomoc.

[BettyBoo]

1) fakt, że przestrzeń jest n-wymiarowa wynika z tego, że jej bazą jest np układ kanoniczny - składa się z kolumn, które mają dokładnie na jednym miejscu 1, a na pozostałych zera. Są one liniowo niezależne (po wpisaniu do macierzy tworzą macierz jednostkową, której wyznacznik jest różny od zera), więc tworzą bazę. Jest ich n, zatem mamy bazę n-elementową , zatem wymiarem przestrzeni jest n

2) a) wpisujesz te wektory do macierzy i liczysz wyznacznik; jeśli jest różny od zera to układ tworzy bazę; b) nie jest to baza bo układ ma za mało wektorów - na podstawie zad1 powinno ich być 4.

3) tworzysz z tych wektorów macierz i sprawdzasz wyznacznik. jeśli jest różny od zera to jest to baza; współrzędne podanego wektora w podanej bazie to rozwiązanie układu równań AX=B, gdzie A jest macierzą zrobioną z tych wektorów (wektory mają być kolejnymi kolumnami tej macierzy), a B to podany wektor, dla którego szukasz współrzędnych

4) wymiar powłoki to rząd macierzy "zrobionej" z tych wektorów

5) nie; przestrzeń do której należą te wektory ma wymiar 3 (na podstawie zad1), a to oznacza, że maksymalnie można wybrać 3 wektory liniowo niezależne. zatem każdy układ o większej ilości wektorów składa się z wektorów liniowo zależnych, czyli nie może być bazą.

Pozdrawiam.

PS Trochę tu dziwne nazewnictwo jest - jak sądzę chodzi o wektory n-wymiarowe po prostu? To co pisałam powyżej jest prawdą przy założeniu, że dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez liczbę definiuje się standardowo po współrzędnych.

[Watari]

Tak, chodzi o wektory n-wymiarowe.
Wielkie dzięki

Jeszcze z 2 zadaniami mam problem:
6)W trojwymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb rzeczywistych wybrano bazę złożoną z wektorów e1, e2, e3. Jakie kolumny odpowiadają wektorom e1, e2, e3 w tej bazie?

7)Proszę pokazać, że zbiór macierzy zespolonych kwadratowych 2x2 może być traktowany jako czterowymiarowa przestrzeń nad ciałem liczb zespolonych lub ośmiowyrazowa przestrzeń nad ciałem liczb rzeczywistych.

[BettyBoo]

6) nie do końca rozumiem, co poeta miał na myśli tutaj. chodzi o współrzędne wektorów e1,e2,e3? bo jeśli tak, to np e1 ma współrzędne (1,0,0) (dlatego, że e1=1e1+0e2+0e3, a współrzędne wektora x w bazie to współczynniki kombinacji liniowej wektorów bazowych, która daje w wyniku x), więc wektor e1 w bazie (e1,e2,e3) ma postać [1,0,0]^T.

7) trzeba pokazać, że przestrzeni są izomorficzne, czyli że istnieje izomorfizm jednej przestrzeni na drugą - tzn takie przekształcenie f jednej przestrzeni na drugą, które jest bijekcją (odwzorowaniem różnowartościowym i "na") oraz homomorfizmem (tzn zachowuje działania, czyli f(a+b)=f(a)+f(b) i f(ta)=tf(a), gdzie a,b sa wektorami a t jest skalarem)


W przypadku przestrzeni macierzy zespolonych wystarczy wziąć standardową przestrzeń wektorów zespolonych (ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę); wtedy przekształcenie jest dość oczywiste: dla dowolnych liczb zespolonych a,b,c,d definiujemy: \(\displaystyle{ f\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}=[a,b,c,d]}\) . Ze względu na definicje działań w obu przestrzeniach oczywiste jest, że to homomorfizm i bijekcja, a więc jest to izomorfizm. Druga część wynika z tego, że przestrzeń zespolona n wymiarowa może być traktowana jak 2n-wymiarowa przestrzeń rzeczywista.

Pozdrawiam.