macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
choryczosnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Augustów
Podziękował: 1 raz

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: choryczosnek »

Witam. Po paroletniej przerwie muszę zaliczyć egzamin z matematyki. Może ktoś mógłby pomóc w rozwiązaniu dwóch zadań?

Zad.1: Wyznacz macierz odwrotną do macierzy
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\2&0&4\\-1&3&-1\end{array}\right]}\)

Zad.2: Oblicz wyznacznik podanej macierzy

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&-2&-1\\-1&0&3&0\\2&-3&0&-2\\-3&4&-4&2\end{array}\right]}\)

Za pomoc będę bardzo wdzięczny.

Pozdrawiam
fermat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 7 lut 2009, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 29 razy

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: fermat »

Zad.1.

\(\displaystyle{ A\cdot A^{-1} = E}\)

po wymnożeniu otrzymasz 9 równań, z których wyznaczysz 9 elementów \(\displaystyle{ A^{-1}}\)

Jest też drugi wzór:

\(\displaystyle{ A^{-1} = \frac{1}{detA}\cdot A^D}\)

gdzie \(\displaystyle{ A^{D}}\) jest transponowaną macierzą algebraicznych dopełnień macierzy \(\displaystyle{ A}\) (o ile się nie mylę) , no i przy założeniu, że \(\displaystyle{ detA \neq 0}\). Można to sprawdzić metodą Sarrusa.
choryczosnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Augustów
Podziękował: 1 raz

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: choryczosnek »

fermat pisze: gdzie \(\displaystyle{ A^{D}}\) jest transponowaną macierzą algebraicznych dopełnień macierzy \(\displaystyle{ A}\)
A możesz w takim telegraficznym skrócie wyjaśnić jak to obliczyć (chodzi już o te końcowe obliczenia tzn. np.\(\displaystyle{ d_{11}=?^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 0&4\\3&-1\end{vmatrix}}\) )

Czy zamiast tego ? zawsze będzie -1? Czy może coś innego (\(\displaystyle{ det \left(A \right)}\))?
fermat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 7 lut 2009, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 29 razy

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: fermat »

choryczosnek pisze:Czy zamiast tego ? zawsze będzie -1?
tak.

\(\displaystyle{ A^D = \left[\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{array}\right]^T}\)

"\(\displaystyle{ A_{ij}}\) jest dopełnieniem algrebraicznym elementu \(\displaystyle{ a_{ij}}\), czyli jest to iloczyn liczby \(\displaystyle{ (-1)^{i+j}}\) i wyznacznika macierzy powstałej z macierzy \(\displaystyle{ A}\) przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny."

przykładowo: \(\displaystyle{ A_{32} = (-1)^{5} \cdot \begin{vmatrix} 1&0\\2&4\end{vmatrix} = (-1) \cdot 4 = -4}\)

Zad.2.

metodą eliminacji Gaussa:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&-2&-1\\-1&0&3&0\\2&-3&0&-2\\-3&4&-4&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1&2&-2&-1\\0&2&1&-1\\0&-7&4&0\\0&10&-10&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1&-8&0&-1\\1&-8&3&-1\\0&-7&-3&0\\0&0&0&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1&-8&0&-1\\0&-15&3&-1\\0&0&-3&0\\0&0&0&-1\end{array}\right]=1\cdot(-15)\cdot(-3)\cdot(-1) = -45}\)
choryczosnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Augustów
Podziękował: 1 raz

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: choryczosnek »

fermat pisze: przykładowo: \(\displaystyle{ A_{32} = (-1)^{5} \cdot \begin{vmatrix} 1&0\\2&4\end{vmatrix} = (-1) \cdot 4 = -4}\)
W książce znalazłem taki przykład:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&5&7\\6&3&4\\5&-2&-3\end{bmatrix}\\}\)

i np. \(\displaystyle{ d_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3&4\\-2&-3\end{vmatrix} = -9+8 = -1}\)

Moim zdaniem są one rozwiązane w inny sposób
fermat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 7 lut 2009, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 29 razy

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: fermat »

A moim zdaniem nie

W którym momencie uważasz, że jest inaczej ?
choryczosnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Augustów
Podziękował: 1 raz

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: choryczosnek »

Bo \(\displaystyle{ 3 \cdot (-3) = (-9)\\4 \cdot (-2) = (-8)}\)
Co sumując da -17 i jeśli to pomnożymy przez -1 to wychodzi 17.
A jeśli to jest dobrze to ja już wymiękam
A może to się odejmuje od siebie?
fermat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 7 lut 2009, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 29 razy

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: fermat »

\(\displaystyle{ -9 - (-8) = -1}\)

Iloczyn elementów drugiej przekątnej wyznacznika stopnia 2 się odejmuje.

No i gra
choryczosnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Augustów
Podziękował: 1 raz

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: choryczosnek »

No a kiedy to się mnoży przez te \(\displaystyle{ (-1)}\) ?
fermat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 7 lut 2009, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 29 razy

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: fermat »

zawsze, przy obliczaniu jakichkolwiek algebraicznych dopełnień elementu.

i nie przez \(\displaystyle{ -1}\) tylko przez \(\displaystyle{ (-1)^{i+j}}\)
choryczosnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Augustów
Podziękował: 1 raz

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: choryczosnek »

A, no tak

-- 18 kwi 2009, o 19:52 --

A może rozwiązałeś te zadanie? Bo chciałbym porównać wynik. Bo jakiś dziwny mi wyszedł.-- 18 kwi 2009, o 20:13 --I możesz mi jeszcze powiedzieć co robi się najpierw: wykonuje działania na macierzach a potem mnoży się przez liczbę czy robi się to po kolei jak na normalnych liczbach?
fermat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 7 lut 2009, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 29 razy

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: fermat »

wierszami lecąc:

0 , 1/10 , 4/3 , -1 , 1/10 , 4/3 , 0 , 1/5 , -1/3

z tego pierwszego wzoru to liczyłem

A co do pytania to nie wiem, czy jest to przemienne w tym przypadku. Patrz co masz we wzorze i licz pokolei. Najpierw detA, później 1/detA, później dojdź do A^D ze swojej macierzy A no i kończ jak będziesz już mieć wszystko policzone.
choryczosnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Augustów
Podziękował: 1 raz

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: choryczosnek »

No a dla mnie trochę inaczej wyszło. Kurcze, nie wiem gdzie jest błąd. Ja liczyłem tą drugą metodą. A ta pierwsza jest prostsza?
fermat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 7 lut 2009, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 29 razy

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: fermat »

Nie wiem która metoda jest prostsza, gusta są różne.

teraz zrobiłem z drugiego wzoru:

-6/5 , 1/10 , 2/5 , -1/5 , 1/10 , 2/5 , -3/5 , 1/5 , -1/5

i uznajmy to za prawidłowy wynik, bo mam dość algebry na dziś

edit: zmieniłem znaki bo 1/detA = -1/10 a ja mnożyłem przez 1/10

pzdr
Ostatnio zmieniony 18 kwie 2009, o 22:09 przez fermat, łącznie zmieniany 1 raz.
choryczosnek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Augustów
Podziękował: 1 raz

macierz odwrotna i wyznacznik macierzy

Post autor: choryczosnek »

A dla mnie wyszło trochę inaczej:

-12/10, 1/10, 2/5, 3/5, 1/10, 2/5, -3/5, 1/10, -1/5

Pozdrawiam i dziękuję
ODPOWIEDZ