Macierze przedstawić w postaci sumy...

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
krytyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 3 lut 2009, o 20:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Macierze przedstawić w postaci sumy...

Post autor: krytyczny »

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} 3&1&4\\2&-1&3\\4&-2&1\end{array}\right]}\)
przedstawić w postaci sumy dwóch macierzy, z których jedna jest symetryczna, a druga antysymetryczna.


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1+i&i&1-i\\i&i&0\\1&0&4\end{array}\right]}\)
przedstawić w postaci sumy dwóch macierzy, z których jedna jest hermitowska, a druga antyhermitowska.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Macierze przedstawić w postaci sumy...

Post autor: BettyBoo »

Dla dowolnej macierzy A macierz A+A^T jest macierzą symetryczną, A-A^T - antysymetryczną. Ich suma jest równa 2A, co Ci daje szukany rozkład.
Pozdrawiam.
edit: macierz (anty)symetryczna pomnożona przez liczbę pozostaje (anty)symetryczna.
Ostatnio zmieniony 17 kwie 2009, o 19:05 przez BettyBoo, łącznie zmieniany 2 razy.
krytyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 3 lut 2009, o 20:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Macierze przedstawić w postaci sumy...

Post autor: krytyczny »

\(\displaystyle{ A+ A^{T}+ \left( A- A^{T} \right) =2A}\)
czyli rozwiązaniem zadania jest suma:
\(\displaystyle{ \frac{A+ A^{T}}{2}+ \frac{A- A^{T}}{2}\\?}\)

A jak sobie poradzić z drugą częścią?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Macierze przedstawić w postaci sumy...

Post autor: BettyBoo »

Tak, dokładnie tak to wygląda w pierwszym przypadku.


Zauważmy, że macierz hermitowska H musi wytrzymywać transponowanie - czyli tak jak macierz symetryczna - oraz sprzęganie równocześnie; no to - rozszerzając ideę wykorzystaną dla macierzy symetrycznych - można napisać taką macierz, która jest zrobiona z A: \(\displaystyle{ H=A+\overline{A}^T},}\).
Analogicznie dla macierzy antyhermitowskiej AH \(\displaystyle{ AH=A-\overline{A}^T}\)
A teraz to już widać, że \(\displaystyle{ H+AH=2A}\)
Macierz (anty)hermitowska pomnożona przez liczbę rzeczywistą nadal jest (anty)hermitowska. Zatem z tej równości masz żądane przedstawienie.

Pozdrawiam.
krytyczny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 3 lut 2009, o 20:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Macierze przedstawić w postaci sumy...

Post autor: krytyczny »

prosiłbym jeszcze o rozwiązanie tego przykładu, bo nie mogę nadal zrozumieć macierzy (anty)hermitowskich
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Macierze przedstawić w postaci sumy...

Post autor: BettyBoo »

definicja macierzy hermitowskiej: \(\displaystyle{ H= \overline{H}^T}\), antyhermitowskiej: \(\displaystyle{ AH= -\overline{AH}^T}\) lub definicje równoważne: \(\displaystyle{ H^T= \overline{H},\ AH^T= -\overline{AH}}\)

Odnośnie tego, co pisałam wyżej:
mamy np: \(\displaystyle{ H^T=(A+ \overline{A}^T})^T=A^T+\overline{A}=\overline{\overline{A}^T}+\overline{A}=\overline{ \overline{A}^T+A^T}}=\overline{H}}\), czyli H jest hermitowska. Dla antyhermitowskiej analogicznie.

Pozdrawiam.

PS Być może niezbyt szczęśliwie oznaczyłam macierz antyhermitowską przez AH - to nie jest iloczyn macierzy A i macierzy H, tylko oznaczenie macierzy antyhermitowskiej.

Może więc lepiej napisać tak: H+S=2A, gdzie \(\displaystyle{ H=A+ \overline{A}^T},\ S=A- \overline{A}^T}}\); macierz H jest hermitowska (dowód powyżej), a S jest antyhermitowska (dowód analogicznie jak dla H). Teraz jasniej?
ODPOWIEDZ