Układ n równań kwadratowych

[Sulik]

Mam taki układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}x_1^2-3x_1+4=x_2\\x_2^2-3x_2+4=x_3\\x_3^2-3x_3+4=x_4\\\vdots\\x_{n-1}^2-3x_{x-1}+4=x_n\\x_n^2-3x_n+4=x_1\end{array}\right.}\)
(chyba ten tex nie umie zrobić większej klamry, miała obejmować wszystkie równania...). Gdy dodam wszystkie równania stronami otrzymam coś takiego:
\(\displaystyle{ (x_1-2)^2+(x_2-2)^2+(x_3-2)^2+...(x_n-2)^2=0}\)
I teraz pytanie: czy w takim razie (2,2,2,...,2) jest jedynym rozwiązaniem układu? I czy może isnieć jeszcze jakieś inne?

[Tomasz Rużycki]

Nie mogą, gdyż suma kwadratów jest równa zero dokładnie wtedy, gdy każdy jej składnik jest równy zero (mówimy tu oczywiście o liczbach rzeczywistych).

[Sulik]

To wiem, ale chodzi o to, że dodając stronami równania układu otrzymuję coś co nie jest równoważne układowi. I teraz tak się zastanawiam jak interpretować otzymane rozwiązanie. Tak sobie teraz myślę, że interpretacja powinna być taka: Jeśli \(\displaystyle{ (x_1,x_2,...,x_n)}\) jest rozwiązaniem układu to spełnia ono warunek: \(\displaystyle{ x_1=2\,\wedge\,x_2=2\,\wedge\,x_3=2\,\wedge\,...\,\wedge\,x_n=2}\). A więc jedynym rozwiązaniem układu może być (i rzeczywiście jest) (2, 2, 2, ..., 2). Dobrze myślę?

[Tomasz Rużycki]

Tak, musisz jeszcze dodać 'przez bezpośrednie sprawdzenie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ (x_1, \ldots , x_n) = (2, \ldots , 2)}\) jest rzeczywiście rozwiązaniem rozważanego układu.'

Gubisz równoważność przy ich dodawaniu, więc musisz sprawdzić.