Określoność macierzy

rubo · Post autor: **rubo** » 11 lut 2006, o 00:55

Jak zbadać określoność macierzy (niesymetrycznej). Tzn mam macierz o nastepujacych wspolrzednych a11 = -1, a12 = 2 a13 = -1 a21 = 0 a22=-3 a23= 2 a31=4 a32=1 a33= -4, proszę o pomoc.

Fibik · Post autor: **Fibik** » 11 lut 2006, o 02:18

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{rrr}-1&0&4\\2&-3&1\\-1&2&-4\end{array}\right]}\)
Dla symetrycznej wystarczą minory główne, a tu trzeba obliczyć wartości własne.
Wszystkie dodatnie -> dodatnio określona
Dodatnie i zerowe -> nieujemnie
z ujemnymi podobnie.

rubo · Post autor: **rubo** » 11 lut 2006, o 11:14

A co jeśli mam pytanie testowe:
Macierz A jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy gdy:
a) wyznaczniki nieparzystego stopnia podmacierzy głównych macierzy A są ujemne, a parzystego dodatnie,
b) wyznaczniki wszystkich podmacierzy głównych macierzy A są dodatnie,
c) wyznaczniki parzystego stopnia podmacierzy głównych macierzy A są ujemne, a nieparzystego dodatnie.

zatem odpada odpowiedź b, a która jest prawdziwa a czy c? Któraś musi być. Proszę o pomoc.

arigo · Post autor: **arigo** » 11 lut 2006, o 11:18

theta · Post autor: **theta** » 20 lut 2006, o 17:16

Fibik pisze:\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{rrr}-1&0&4\\2&-3&1\\-1&2&-4\end{array}\right]}\)
Dla symetrycznej wystarczą minory główne, a tu trzeba obliczyć wartości własne.
Wszystkie dodatnie -> dodatnio określona
Dodatnie i zerowe -> nieujemnie
z ujemnymi podobnie.

Czy jeśli macierz jest symetryczna, to dla minorów głównych sprawdza się znaki czy inaczej się to sprawdza?

Fibik · Post autor: **Fibik** » 21 lut 2006, o 00:34

Tak jest szybciej.
Wartości własne A > 0 minory główne > 0
Wartości własne A < 0 minory główne -+-+...
albo
Wartości własne A < 0 Wartości własne -A > 0 minory główne -A > 0