metoda eliminacji Gaussa

[franek89]

Czołem!
Wybaczcie, że męczę Was tymi równaniami, ale chcę zrozumieć Gaussa dlatego proszę o pomoc w następującym układzie:

\(\displaystyle{ x+2y-z-t=1}\)
\(\displaystyle{ x+y+z+3t=2}\)
\(\displaystyle{ 3x+5y-z+t=4}\)

PS. Czy operacjami elementarnymi mozna działać tylko na wierszach, czy można również na kolumach w eliminacji Gaussa?

[BettyBoo]

Czy operacjami elementarnymi mozna działać tylko na wierszach, czy można również na kolumach w eliminacji Gaussa?

Tylko na wierszach, ponieważ kolumny odpowiadają za zmienne, więc działanie na kolumnach byłoby działaniem na zmiennych, a tego byśmy nie chcieli

Podaj swój sposób rozwiązania i napisz gdzie masz problem, to Ci pomogę. Tylko nie mów, że nic nie umiesz z tym zrobić
Pozdrawiam.

[franek89]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-1&1\\1&1&1&3&2\\3&5&-1&1&4\end{array}\right]=W_{3}-3W_{1}\left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-1&1\\1&1&1&3&2\\0&-1&2&4&1\end{array}\right]=W_{2}-W_{1}\left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-1&1\\0&-1&2&4&1\\0&-1&2&4&1\end{array}\right]}\)

Nie wiem co zrobic z tymi samymi wektorami

[BettyBoo]

odjąć

\(\displaystyle{ =(...)W_{3}-W_2\left [ \begin{array}{ccccc}1&2&-1&-1&1 \\ 0&-1&2&4&1 \\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right]}\)

wiersz zerowy można wykreślić ( bo odpowiada równaniu 0=0), drugi wiersz pomnożyć przez -1;
tworzy się z powrotem układ równań i zaczynając od ostatniego wyznacza się te zmienne, które mają wiodące jedynki - najpierw z drugiego równania y, potem z pierwszego x, wstawiając obliczony y; układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań z dwoma parametrami.

Pozdrawiam.

[franek89]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&2&-1&-1&1\\0&-1&2&4&1\\0&0&0&0&0\end{array}\right]=W_{1}+2W{2}; W_{2}*(-1) \left[\begin{array}{ccccc}1&0&3&7&3\\0&1&-2&-4&-1\\0&0&0&0&0\end{array}\right]}\)

wydaje mi się, że rozwiązanie wygląda następująco:
x=2+3z+7t
y=-1-4t-2z
ale w książce napisano:
x=3p, y=1-2p-2q, z=1-p-7q, t=3q
wiem, że p,q to parametry, ale nie wiem skąd takie cyfry?

[BettyBoo]

wydaje mi się, że rozwiązanie wygląda następująco:
x=2+3z+7t
y=-1-4t-2z

No prawie. Jak zapiszesz z powrotem układ to otrzymasz x+3z+7t=2, y-4t-2z=-1, czyli rozwiązanie:

x=2-3m-7n
y=-1+4n+2m
z=m
t=n
m,n - rzeczywiste (chyba, że układ jest nad zespolonymi, to wtedy zespolone)

ale w książce napisano: x=3p, y=1-2p-2q, z=1-p-7q, t=3q
wiem, że p,q to parametry, ale nie wiem skąd takie cyfry?

Wygląda na to, że z jakiegoś nie do końca dla mnie zrozumiałego powodu układ był rozwiązywany tak, że x i t zostały parametrami. Nie widzę na pierwszy rzut oka, jak go rozwiązano, żeby otrzymać taką odpowiedź.
Pamiętaj jednak, że rozwiązania mogą się "optycznie" różnić w zależności od metody, ale jako zbiory są takie same.

Pozdrawiam.

[franek89]

Dziękuję za pomoc