Układ równań - pytanie

[alek26]

Witam,

Witam obliczam ekstrema funkcji dwóch zmiennych, muszę rozwiązać poniższy układ równań, aby znaleźć punkty stacjonarne:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
f_{x} = 3x^{2} + 3y^{2} - 6y = 0 \\
f_{y} = 6xy - 6x = 0\end{cases}}\)

Czy ktoś wie jak taki układ się rozwiązuje, nie chodzi mi gotowe rozwiązanie tylko o sposób ?

Dziękuję.

[Brzytwa]

Jedną z podstawowych metod (o ile nie jedyną) jest metoda podstawiania. Jednak w takich przypadkach (układy równań wielu zmiennych o stopniach wyższych niż 1) jest ona bardzo żmudna i w wielu przypadkach i tak nie da się jej zastosować. Zwykle najlepiej wykazać trochę sprytu i pomysłowości, jak w tym przypadku. Z drugiego równania dostajemy:

\(\displaystyle{ 6xy-6x=0}\)
\(\displaystyle{ x(y-1)=0}\)
\(\displaystyle{ x=0 \ \vee \ y=1}\)

Teraz rozważmy 2 przypadki:

1)\(\displaystyle{ x=0}\)

\(\displaystyle{ 3y^{2}-6y=0}\)
\(\displaystyle{ y(y-2)=0}\)
\(\displaystyle{ y=0 \ \vee \ y=2}\)

2)\(\displaystyle{ y=1}\)

\(\displaystyle{ 3x^{2}+3-6=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-1=0}\)
\(\displaystyle{ x=1 \ \vee \ x=-1}\)


Dostaliśmy zatem 4 pary liczb spełniających to równanie: \(\displaystyle{ (0,0)}\), \(\displaystyle{ (0,2)}\), \(\displaystyle{ (1,1)}\), \(\displaystyle{ (-1,1)}\)

[krzywy1607]

W drugim równaniu podziel przez 6 i wyłącz x przed nawias. x i y bez problemu można wyznaczyć.
Wtedy podstawiasz x do pierwszego równania i wyznaczasz y. I podobnie podstawiasz y do pierwszego i wyznaczasz x

[alek26]

Dziękuję bardzo.

-- 15 kwi 2009, o 04:46 --

Sorka, że znowu piszę, ale nie mogę sobie poradzić z równaniami takiego typu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f_{x} = 3x^{2} - 2y - 2 =0 \\ f_{y} = -2x + 2y + 3 = 0 \end{cases}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases} f_{x} = -3x^{2} - y = 0 \\ f_{y} = -x + 2 - 2y = 0 \end{cases}}\)

W jaki sposób to rozwiązać ?