rozwiązywanie równań z macierzami

[nadol]

Czy ktoś mógłby mi pomóc rozwiązać zadania ;]

1) Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x&2\\5&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3&y\\4&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11&9\\5&-5\end{bmatrix}}\)

Tutaj zrobiłem tak:
pomnożyłem i wyszło mi:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3x+8&xy+10\\15&5y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 11&9\\5&-5\end{bmatrix}}\)
pomnożyłem prawą macierz przez 3 i wyszło mi:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3x+8&xy+10\\15&5y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 33&27\\15&-15\end{bmatrix}}\)
i ułożyłem układ równań, z którego wyszło mi:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} y=-3\\-3x=17\\3x=25 \end{array}}\) i tu cos się zepsuło



2)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&-2\\2&3&-5\\1&0&1\end{bmatrix}X+3\begin{bmatrix} 1\\2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\1\\-2\end{bmatrix}}\)

Tutaj zrobiłem coś takiego, ale nie wiem czy to jest dobrze:
\(\displaystyle{ X= \frac{\begin{bmatrix} 3\\6\\-3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1\\1\\-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} 0&1&-2\\2&3&-2\\1&0&1\end{bmatrix}}}\)

3)Dana jest macierz\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&-1\\3&2\end{bmatrix}}\) Wyznaczyć wszystkie macierze X takie że AX=XA

4)
Czy istnieje niezerowa macierz kwadratowa stopnia 2(3,4,...,n), taka że \(\displaystyle{ x^{2}=0}\)?

[Ralf1410]

1)Skąd to mnożenie macierzy przez 3.

2)To chyba nie będzie tak.X przedstaw jako wektor zmiennych x,y,z i pomnóż przez macierz,a potem dodaj to drugą macierz.Potem dostaniesz układ 3 równań.

Macierzy chyba nie da się dzielić przez macierz.

3)Tu nie będzie przypadkiem tylko macierzy jednostkowej.

[nadol]

1)Skąd to mnożenie macierzy przez 3.

2)To chyba nie będzie tak.X przedstaw jako wektor zmiennych x,y,z i pomnóż przez macierz,a potem dodaj to drugą macierz.Potem dostaniesz układ 3 równań.

Macierzy chyba nie da się dzielić przez macierz.

3)Tu nie będzie przypadkiem tylko macierzy jednostkowej.

Co do pierwszego to pomnożyłem przez 3, aby po przyrównaniu tych macierze nie wyszła mi sprzeczność(chodzi o wyrazy pierwsze w 2-gich wierszach)

A czy mógłbyś trochę jaśniej przedstawić mi 2 i 4?? W czwartym co to jest X?

[miki999]

Jeżeli masz np.\(\displaystyle{ x= \frac{1}{3}}\), to logiczne jest, że nie możesz se prawej strony równania przemnożyć tylko po to, aby wyszedł Ci ładny wynik.
Jeżeli wychodzi sprzeczność, to najwyraźniej nie istnieje taka para x i y spełniających dana zależność.

2. wymnóz przez 3:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\2\\-1\end{array}\right]}\)
i przenieś na prawą stronę równania (wykonaj działanie odejmowania)
Następnie lewostronnie przemnóż lewą i prawą stronę równania przez macierz odwrotną do:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&-2\\2&3&-5\\1&0&1\end{bmatrix}}\)
(masz to szczęście, że jest ona odwracalna)
Otrzymasz macierz \(\displaystyle{ X}\).

Pozdrawiam.

[nadol]

a jak zrobić zadanie 1,3,4?

[miki999]

1.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3x+8&xy+10 \ \15&5y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 11&9 \ \5&-5 \end{bmatrix}}\)

Nie chce mi się wymnażać, ale jeżeli rzeczywiście tak wyszło to wystarczy przyrównać do siebie odpowiadające sobie elementy. Jeżeli układ będzie sprzeczny, tzn., że nie istnieje taka para liczb \(\displaystyle{ x\ i\ y}\) spełniająca dany warunek. Bez żadnego wymnażania ani przez 3 ani przez żadną inną liczbę...

3.
Załóż, że macierz \(\displaystyle{ X}\) ma postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
Wykonaj mnożenie i sprawdź dla jakich zaskakujących wartości macierzy równanie jest prawdziwe.

4.
Jeżeli \(\displaystyle{ 0}\) oznacza macierz zerową, to nie trudno wpaść na to, że każda macierz (kwadratowa) zerowa podniesiona do kwadratu, da również macierz zerową.


Pozdrawiam.