baza przestrzeni i podrzestrzeni

[slavert]

Niech B będzie bazą przestrzeni V nad R, U =span(\(\displaystyle{ U}\)), W = span(\(\displaystyle{ W}\)).
a) W układzie \(\displaystyle{ U \cup W}\) znaleźć bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ span(U \cup W)}\)
b) Znaleźć układy A0,A1,A2 takie, że A0 jest baza U \(\displaystyle{ \cap}\) W, \(\displaystyle{ A0|A1}\) baza U,\(\displaystyle{ A0|A2}\) baza W,
c) Rozszerzyć bazę A0,A1,A2 do bazy całej przestrzeni.
d) Czy U +W jest sumą prostą?

\(\displaystyle{ M _{B}(U)= \left(1. wiersz(1 ,−1, −1)
2. w(3 ,−4, 1)
3. w(1 ,−2, 3)
4. w(0 ,−1, 4) \right)}\)


\(\displaystyle{ M _{B}(W)= \left(1. wiersz(1, 1 ,−1)
2. w(4, 3, 1)
3. w(2, 3, −1)
4. w(1, 2, 0) \right)}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[BettyBoo]

Jeśli macierze M(U) i M(V) oznaczają to co myślę, to ich kolumny są współrzędnymi wektorów bazowych przestrzeni U i V w bazie B. W szczególności oznacza to, że wymiarem przestrzeni V jest 4.

a) Macierze M(U) i M(V) transponujemy i wpisujemy do jednej macierzy, nazwijmy ją M, jedną pod drugą. Wierszami macierzy M są wobec tego wszystkie generatory obu przestrzeni (dokładniej: ich współrzędne w bazie B).
Macierz M doprowadzamy do postaci schodkowej metodą eliminacji Gaussa. Ponieważ działania są wyłącznie na wierszach, czyli na wektorach, to każdy wiesz w postaci schodkowej jest wektorem w sumie przestrzeni, a bazą są np wszystkie wiersze niezerowe.
Można to zrobić też trochę krócej, ale nie jestem w stanie krótko Ci tu tego wyjaśnić nie wiedząc, co wiesz

b) i c) rozwiążę jak mi powiesz, co oznaczają tajemnicze szlaczki A0|A1 i A0|A2 oraz o jaką bazę chodzi w c

d) U+W jest sumą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar sumy tych przestrzeni jest równy sumie wymiarów.
wymiar U= rząd M(U) =2, wymiar W= rząd M(W)=3, ich suma =5. Jednak 5 nie może być wymiarem sumy tych przestrzeni, bo jest to liczba większa niż wymiar całej przestrzeni, a każda podprzestrzeń (w tym również ta o której mowa) ma wymiar nie większy niż wymiar całej przestrzeni.

Pozdrawiam.