dwa zadanka

tiga11 · Post autor: **tiga11** » 8 kwie 2009, o 23:37

witam potrzebuje pomocy z dwoma zadankami na konkurs z matmy a mianowicie:
1.wyznacz rzad macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&2&0&3&2&0\\2&2&4&2&1&1&5\\0&1&1&3&2&3&4\\1&2&3&1&3&2&1\\3&0&0&1&4&0&0\\ \end{bmatrix}}\)

oraz 2. rozwiazac układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x-y+3z+s-t=1\\x-z+t=0\\y-3s+t=3\\x+2y-4t=2\\3x-2y+z-s+3t=0\\2x-y+2s+3t=-1 \end{array}}\)

prosilbym bardzo najlepiej o rozwiazanie krok po kroku z jakims komentarzem gdyz zaczynam dopiero zabawe z algebra liniowa a te dwa zadanka sa dla mnie wazne i nie zabardzo wiem jak zaczac, dzieki i wesolych swiat

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 8 kwie 2009, o 23:49

post326447.htm?hilit=wyznacz%20rz%C4%85d%20macierzy#p326447

Na forum jest duzo takich przykladow. Zglos sie gdy bedziesz mial jakies konkretne problemy.
Wikipedia \(\displaystyle{ \rightarrow}\) metoda eliminacji Gaussa.

tiga11 · Post autor: **tiga11** » 9 kwie 2009, o 00:24

narazie pierwsze zadanie, liczyc to wyznacznikami po koleji czy dzialania na wierszach(kolumnach) ?poczytalem troche w ksiazce ale nie wiem od czego dokladnie zaczac bo maksymalnie mam macierze 3x3 a tam odrazu mozna wyznacznik policzyc i sprawdzic czy jest rozny od zera a tu porpstu bym to do swiat liczyl i i tak pewnie by z tego nic nie bylo...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 9 kwie 2009, o 00:27

Wyznacznika nie policzysz bo macierz ta nie jest macierzą kwadratową. Proponuje od razu dzialania na wierszach. Robi sie to tak samo jak w macierzach 3 na 3, 4 na 89 czy 69 na 69. Jak juz doprowadzisz tę macierz do postaci wierszowo zredukowanej to podziel się swoim wynikiem . Pomoge Ci zinterpretowac ten wynik.

tiga11 · Post autor: **tiga11** » 9 kwie 2009, o 00:36

jeszcze jedno pytanko mam jezeli 6 i 7 kolumne sprowadze do zera tzn w kazdym wierszu tych kolumn beda zero to moge je poprostu pominac i zapisac koncowa macierz jako 5x5 ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 9 kwie 2009, o 00:38

Mozesz. Oczywiscie nalezy wtedy napisac stosowny komentarz (te kolumny nie mają wplywy na rząd macierzy itd).

tiga11 · Post autor: **tiga11** » 9 kwie 2009, o 00:38

dzieki

to juz wiem od czego zaczac

-- 9 kwi 2009, o 00:48 --

jeszcze jedno pytanko, czy w czasie jednej operacji przeksztalcania, moge jednoczesnie wykonac dzialania na dwoch wierszach naraz np jednoczesnie od w3 odjac w4 i w tym samym czasie na starych wartosciach (tych z tego samego dzialania) w4 dodac w1 ?

-- 9 kwi 2009, o 01:19 --

zrobilem to pracochlonna i tradycyjna metoda za pomoca wyznacznikow, wzialem pod uwage pierwsze 5 kolumn i piec wierszy, policzylem wyznacznik korzystajac z rozwiniecia Laplace'a i wyszedl mi det(5x5-pierwsze piec kolumn i wierszy) = -145.

po pierwsze czy wyszedl mi dobry wynik, i po drugie czy z tego moge juz wywnioskowac ze rząd cale macierzy (5x7) wynosi 5, po trzecie czy wogole moge tak sobie zmieniejszyc macierz glowna (do 5x5) czy bylo to kompletnie bez sensu ?

ps. nie widze zadnych zaleznosci liniowych miedzy wierszami i nie wiem od czego zaczac a ze troche zmeczony jestem to nawet nie probowalem, jakby ktos mogl ewentualnie mnie naprowadzic jak poprzeksztalcac te wiersze albo pokazac jakis zwiazek miedzy nimi

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 9 kwie 2009, o 04:56

miodzio1988 pisze:Wyznacznika nie policzysz bo macierz ta nie jest macierzą kwadratową. Proponuje od razu dzialania na wierszach. Robi sie to tak samo jak w macierzach 3 na 3, 4 na 89 czy 69 na 69. Jak juz doprowadzisz tę macierz do postaci wierszowo zredukowanej to podziel się swoim wynikiem . Pomoge Ci zinterpretowac ten wynik.

Rząd macierzy można policzyć wyznacznikami ponieważ rząd to największy stopień
podmacierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku
Jednakże liczenie wyznaczników podmacierzy kwadratowych może być czasochłonne
i lepiej jest zastosować eliminację Gaussa

Tak wyznacznik wynosi -145
Możesz wywnioskować że rząd wynosi 5
ponieważ rząd znajduje się w przedziale
\(\displaystyle{ <0;\min(n,m)>}\)

\(\displaystyle{ n,m \in \mathbb{Z}_{+}}\)

\(\displaystyle{ n \times m}\) to wymiary macierzy

W drugim zadaniu rzędy są różne

Rząd macierzy głównej jest równy 5
Rząd macierzy dołączonej (rozszerzonej) jest równy 6

Co do obliczania wyznacznika macierzy to są bardziej efektywne metody niż
rozwinięcie Laplace'a czy metoda permutacyjna

Ja proponuję metodę eliminacji Gaussa
lub metodę rozkładu LU

W metodzie eliminacji Gaussa zerować elementy można
za pomocą operacji elementarnych albo mnożąc przez macierze ortogonalne

tiga11 · Post autor: **tiga11** » 9 kwie 2009, o 10:24

rozumiem ze macierze ortogonalne to macierze kwadratowe, ale jak sie wykonuje te przeksztalcenia ? niestety metody elimancji gaussa nie opanowalem jeszcze tak dobrze ale staram sie to nadrobic, czytalem ze najlepiej doprowadzic do macierzy jednostkowej, tylko co to w sumie mi da ? i jak to zrobic w przypadku tej macierzy ?
btw czy macierz rozszerzona wyszla:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 1&0&-1&0&1&|&0\\0&1&0&-3&1&|&3\\1&2&0&0&-4&|&2\\ 3&-2&1&-1&3&|&0\\2&-1&0&2&3&|&1 \end{bmatrix}}\)

??

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 9 kwie 2009, o 10:42

Poczatkowe kroki:

1) Zamien Pierwszy wiersz z drugim.
2)Za pomocą tej jedynki wyzeruj wszystkie liczby pod tą jedynką tzn. 2 wiersz odjąć 2 * pierwszy, 4 wiersz odjąć pierwszy wiersz, 5 wiersz odjac 3 * pierwszy wiersz, 6 wiersz odjąć 2* pierwszy wiersz.
3)....
Jak dojdziesz do tego momentu to napisz swoją macierz. Wtedy Ci powiem co dalej robic.

tiga11 · Post autor: **tiga11** » 9 kwie 2009, o 10:56

jak cos bede jeszcze wieczorkiem to dokoncze, narazie musze do pracy spadac, dzieki postaram sie w drodze wyzerowac ta pierwsza kolumne i wynik podam popoludniu lub pod wieczor pozdro

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 10 kwie 2009, o 02:28

tiga11 pisze:rozumiem ze macierze ortogonalne to macierze kwadratowe, ale jak sie wykonuje te przeksztalcenia ? niestety metody elimancji gaussa nie opanowalem jeszcze tak dobrze ale staram sie to nadrobic, czytalem ze najlepiej doprowadzic do macierzy jednostkowej, tylko co to w sumie mi da ? i jak to zrobic w przypadku tej macierzy ?
btw czy macierz rozszerzona wyszla:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 1&0&-1&0&1&|&0\\0&1&0&-3&1&|&3\\1&2&0&0&-4&|&2\\ 3&-2&1&-1&3&|&0\\2&-1&0&2&3&|&1 \end{bmatrix}}\)

??

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 1&0&-1&0&1&|&0\\0&1&0&-3&1&|&3\\1&2&0&0&-4&|&2\\ 3&-2&1&-1&3&|&0\\2&-1&0&2&3&|&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&1&0&-3&1&|&3\\1&2&0&0&-4&|&2\\ 3&-2&1&-1&3&|&0\\2&-1&0&2&3&|&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&1&0&-3&1&|&3\\0&5&-3&-1&-7&|&3\\ 3&-2&1&-1&3&|&0\\2&-1&0&2&3&|&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&1&0&-3&1&|&3\\0&5&-3&-1&-7&|&3\\ 0&-1&-7&-5&9&|&-3\\2&-1&0&2&3&|&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&1&0&-3&1&|&3\\0&5&-3&-1&-7&|&3\\ 0&-1&-7&-5&9&|&-3\\0&0&-3&1&4&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&5&-2&-2&|&4\\0&5&-3&-1&-7&|&3\\ 0&-1&-7&-5&9&|&-3\\0&0&-3&1&4&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&5&-2&-2&|&4\\0&0&11&2&-11&|&4\\ 0&-1&-7&-5&9&|&-3\\0&0&-3&1&4&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&5&-2&-2&|&4\\0&0&11&2&-11&|&4\\ 0&0&-12&-6&12&|&-4\\0&0&-3&1&4&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&5&-2&-2&|&4\\0&0&11&2&-11&|&4\\ 0&0&-1&-4&1&|&0\\0&0&-3&1&4&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&5&-2&-2&|&4\\0&0&11&2&-11&|&4\\ 0&0&-1&-4&1&|&0\\0&0&0&13&1&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&0&-22&3&|&4\\0&0&0&-42&0&|&4\\ 0&0&-1&-4&1&|&0\\0&0&0&13&1&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&-1&-4&1&|&0\\0&0&0&-42&0&|&4\\ 0&0&0&-22&3&|&4\\0&0&0&13&1&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&-1&-4&1&|&0\\0&0&0&-21&0&|&2\\ 0&0&0&-22&3&|&4\\0&0&0&13&1&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&-1&-4&1&|&0\\0&0&0&1&-3&|&-2\\ 0&0&0&-22&3&|&4\\0&0&0&13&1&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&-1&-4&1&|&0\\0&0&0&1&-3&|&-2\\ 0&0&0&0&-63&|&-40\\0&0&0&13&1&|&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&-1&-4&1&|&0\\0&0&0&1&-3&|&-2\\ 0&0&0&0&-63&|&-40\\0&0&0&0&40&|&26 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&-1&-4&1&|&0\\0&0&0&1&-3&|&-2\\ 0&0&0&0&-63&|&-40\\0&0&0&0&1260&|&819 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&3&1&-1&|&1 \\ 0&1&-5&-1&3&|&-1\\0&0&-1&-4&1&|&0\\0&0&0&1&-3&|&-2\\ 0&0&0&0&-63&|&-40\\0&0&0&0&0&|&19 \end{bmatrix}}\)

tiga11 · Post autor: **tiga11** » 10 kwie 2009, o 10:13

no tak mi wyszlo i pytanko jeszcze juz chyba ostatnie czy ta ostatnia macierz trojkatna z zerami po glowna przekatna to za kreska juz sa rozwiazania pod kolei czy gore tez trzeba do zer sprowadzic ? no i wogole to tam jest 6 wierszy a tylko pięć niewiadomych: x, y, z, s, t

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 10 kwie 2009, o 18:33

tiga11 pisze:no tak mi wyszlo i pytanko jeszcze juz chyba ostatnie czy ta ostatnia macierz trojkatna z zerami po glowna przekatna to za kreska juz sa rozwiazania pod kolei czy gore tez trzeba do zer sprowadzic ? no i wogole to tam jest 6 wierszy a tylko pięć niewiadomych: x, y, z, s, t

To już jest koniec z powyższej macierzy wynika że rzędy macierzy głównej i rozszerzonej są różne
więc układ równań jest sprzeczny

tiga11 · Post autor: **tiga11** » 13 kwie 2009, o 14:49

tak jest, dzieki wszystkim za pomoc