sprawdź czy macierze są idempotentne i wyznacz ślad

[RAFMisiek]

1) Sprawdź czy macierze M oraz \(\displaystyle{ M _{0}}\) są idempotentne

\(\displaystyle{ M=I-X(X ^{T} X) ^{-1}X ^{T}}\) przy czym \(\displaystyle{ X _{Txk}}\), T>k, r(X)=k
\(\displaystyle{ M _{0}=I- \frac{1}{T}11 ^{T}}\) przy czym 1 oznacza wektor kolumnowy o T wierszach
żeby była idem ... to \(\displaystyle{ M ^{2} =M}\), ale nie wiem jak za to się zabrać ... i jeszcze ten wektor - o co w nim chodzi ??

2) Wiedząc, że tr(AB)=tr(BA) wyznacz ślad macierzy M [tej co w pkt. 1 ]

[xiikzodz]

\(\displaystyle{ M=0}\)

\(\displaystyle{ 0^2=0}\)

Pewnie autor zadanie miał jakąś intencję, ale przepadla ona w drodze na forum.

W przypadku \(\displaystyle{ M_0}\) też można się domyślać, o co chodziło...

W przypadku wyjaśnienia owych intencji może skrócić rozumowanie fakt, że \(\displaystyle{ I-M}\) jest idempotentna wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ M}\) jest idempotentna.

[RAFMisiek]

treść zadań przepisałem, więc jednak wolałbym żeby ktoś wytłumaczył krok po kroku co mam zrobić :/