rzut na plaszczyzne

[majlenka18]

znajdz wzor i macierz rzutu na plaszczyzne:x+y+z=0 wzdluz wektora (-3,4,7)



+ wystarczy ze wektor bedzie wyznaczal mi prosta i podstawie to do rownania x=tv,gdzie v=(-3,4,7)?
a a wybierajac sobie jaki punkt na plaszczyznie np: P o wspolrzednychc:p1,p2,p3 bede mogla zapisac ze px' pomnozone skalarnie przez px =0 ? gdzie x' jest niewiadoma a x,dana z zadania wartoscia poprzez wektor?? ah..prosze o pomoc.

[BettyBoo]

Ustalamy jak wygląda rzut R dowolnego punktu P(a,b,c): Jest to punkt R(P)(x,y,z), który leży równocześnie na prostej równoległej do wektora k[-3,4,7] przechodzącej przez P oraz na płaszczyźnie p: x+y+z=0. Zatem współrzędne punktu P' spełniają równania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a-3t \\y=b+4t\\z=c+7t\\0=x+y+z=a+b+c+8t\end{cases}}\)

Szukamy obrazu każdego wektora bazy kanonicznej przez ten rzut: z ostatniego równania wyliczamy t, a następnie z pierwszych trzech wyliczamy współrzędne:

\(\displaystyle{ e_1=(1,0,0)\ \Rightarrow\ t=-\frac{1}{8} \ \Rightarrow\ R(e_1)=(\frac{11}{8}, -\frac{1}{2}, -\frac{7}{8})

e_2=(0,1,0)\ \Rightarrow\ t=-\frac{1}{8} \ \Rightarrow\ R(e_2)=(\frac{3}{8}, \frac{1}{2}, -\frac{7}{8})


e_3=(0,1,0)\ \Rightarrow\ t=-\frac{1}{8} \ \Rightarrow\ R(e_3)=(\frac{3}{8}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{8})}\)

Z definicji macierzy przekształcenia (w bazach kanonicznych) mamy
\(\displaystyle{ M=\begin{bmatrix}
\frac{11}{8} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
-\frac{7}{8} & -\frac{7}{8} & \frac{1}{8}
\end{bmatrix}}\)

Ponieważ MX=Y wyznacza przekształcenie, to \(\displaystyle{ R(x,y,z)=\left(\frac{11}{8}x+\frac{3}{8}y+ \frac{3}{8}z,
-\frac{1}{2}x+ \frac{1}{2}y -\frac{1}{2}z, -\frac{7}{8}x -\frac{7}{8}y+ \frac{1}{8}z\right)}\)