zbadać grupę przemienną i znaleźć bazę

[pumbosza]

Witam, mam problem z takim zadaniem:

Dana jest grupa przemienna \(\displaystyle{ (V,+)}\) ,gdzie \(\displaystyle{ V=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\;:\;a,b,c\;\epsilon\;Q\}}\). Czy \(\displaystyle{ ((V,+),Q,*)}\) jest przestrzenią liniową? Jeśli tak to znaleźć jej bazę.

[adwer]

Baza to najmniejszy zbiór generatorów grupy, czyli musimy znaleźć takie elementy, aby każdy inny element można przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów z bazy. Łatwo widać, że zbiorem generatorów będzie trzyelementowy zbiór \(\displaystyle{ <1,\sqrt{2},\sqrt{3}>}\)

[xiikzodz]

Coś jednak trzeba wykazać. Mianowicie:

jeśli dla \(\displaystyle{ a,b,c\in\mathbb{Q}}\) zachodzi \(\displaystyle{ a+b\sqrt 2+c\sqrt 3=0}\), to \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).

Co Można np. tak zobaczyć:

\(\displaystyle{ a+b\sqrt 2+c\sqrt 3=0}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a+b\sqrt 2 - c\sqrt 3=0}\), to po dodaniu stronami otrzymujemy:

\(\displaystyle{ a+b\sqrt 2=0}\)

stąd \(\displaystyle{ a=b=0}\), bo \(\displaystyle{ \sqrt 2}\) jest niewymierne.

Jeśli natomiast \(\displaystyle{ a+b\sqrt 2 - c\sqrt 3=0}\), to po wymnożeniu stronami otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (a+b\sqrt 2)^2+3c^2=0}\)

skąd:

\(\displaystyle{ a^2+2b^2-3c^2=2ab\sqrt 2}\)

zatem, wobec niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt 2}\):

\(\displaystyle{ ab=0}\)

czyli

\(\displaystyle{ 0=a(a+b\sqrt 2+c\sqrt 3)=a^2+0+ac\sqrt 3}\)

co wobez niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt 3}\) oznacza, ze \(\displaystyle{ a=0}\). Analogicznie pokazujemy, że \(\displaystyle{ b=0}\).

Jak widać jest trochę pisania.