wielomianowa przestrzeń wektorowa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
pumbosza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 19 lut 2008, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kielce
Podziękował: 29 razy

wielomianowa przestrzeń wektorowa

Post autor: pumbosza »

Witam, mam problem z takim zadaniem:

Czy następujący podzbiór jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(\displaystyle{ R[x]_{n}}\). Jeśli tak to znaleźć jego bazę:
-wielomiany, których pierwiastkiem k-krotnym jest liczba rzeczywista r
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

wielomianowa przestrzeń wektorowa

Post autor: xiikzodz »

Nie jest.

Na przykład wielomiany:

\(\displaystyle{ x(x-1), x(x+1)}\)

mają 1-krotny pierwiastek w zerze, lecz ich suma ma w zerze 2-krotny pierwiastek.

Byłaby to podprzedstrzeń liniowa, gdyby chodziło o pierwiastek przynajmniej k-krotny. Bazą takiej przestrzeni byłyby wówczas wielomiany \(\displaystyle{ (x-r)^k, (x-r)^kx, (x-r)^kx^2,\ldots,(x-r)^kx^{n-k}}\).

Wszystko przy założeniu, że napis \(\displaystyle{ R[x]_n}\) oznacza wielomiany stopnia niewiększego niż \(\displaystyle{ n}\).
pumbosza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 19 lut 2008, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kielce
Podziękował: 29 razy

wielomianowa przestrzeń wektorowa

Post autor: pumbosza »

Co prawda kolosa już napisałem, ale nieważne. Następny podpunkt tego zadania mówi właśnie o pierwiastku przynajmniej k-krotnym i szczerze mówiąc to jeszcze trochę tego nie łapię, tzn nie czuję za bardzo różnicy między tymi dwoma podpunktami. Jak masz cierpliwość to byłbym wdzięczny gdybyś jeszcze troszki to rozwinął. Pzdr
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

wielomianowa przestrzeń wektorowa

Post autor: xiikzodz »

Wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) ma k-krotny pierwiastek w punktcie \(\displaystyle{ r\in\mathbb{R}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest on postaci:

\(\displaystyle{ (x-r)^ku(x)}\),

gdzie \(\displaystyle{ u(r)\neq 0}\).

Kombinacja liniowa wielomianów takiej postaci, powiedzmy

\(\displaystyle{ w_1(x)=(x-r)^ku_1(x)}\)

\(\displaystyle{ w_2(x)=(x-r)^ku_2(x)}\)

ma w punkcie \(\displaystyle{ r}\) przynajmniej k-krotny pierwiastek, bo:

\(\displaystyle{ aw_1(x)+bw_2(x)=a(x-r)^ku_1(x)+b(x-r)^ku_2(x)=(x-r)^k(au_1(x)+bu_2(x))}\)

Gdyby więc chodziło o pierwiastek przynajmniej k-krotny, to mamy już dowód, że takie wielomiany tworzą podprzestrzeń liniową.

Pierwotne zadanie rozwiązujemy zauważając, że suma wielomianów mających k-krotny pierwiastek w \(\displaystyle{ r}\) może mieć w \(\displaystyle{ r}\) pierwiastek wyższej krotności.
pumbosza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 97
Rejestracja: 19 lut 2008, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kielce
Podziękował: 29 razy

wielomianowa przestrzeń wektorowa

Post autor: pumbosza »

dzięki bardzo, już rozumiem
ODPOWIEDZ