Witam, mam problem z takim zadaniem:
Czy następujący podzbiór jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(\displaystyle{ R[x]_{n}}\). Jeśli tak to znaleźć jego bazę:
-wielomiany, których pierwiastkiem k-krotnym jest liczba rzeczywista r
wielomianowa przestrzeń wektorowa
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
wielomianowa przestrzeń wektorowa
Nie jest.
Na przykład wielomiany:
\(\displaystyle{ x(x-1), x(x+1)}\)
mają 1-krotny pierwiastek w zerze, lecz ich suma ma w zerze 2-krotny pierwiastek.
Byłaby to podprzedstrzeń liniowa, gdyby chodziło o pierwiastek przynajmniej k-krotny. Bazą takiej przestrzeni byłyby wówczas wielomiany \(\displaystyle{ (x-r)^k, (x-r)^kx, (x-r)^kx^2,\ldots,(x-r)^kx^{n-k}}\).
Wszystko przy założeniu, że napis \(\displaystyle{ R[x]_n}\) oznacza wielomiany stopnia niewiększego niż \(\displaystyle{ n}\).
Na przykład wielomiany:
\(\displaystyle{ x(x-1), x(x+1)}\)
mają 1-krotny pierwiastek w zerze, lecz ich suma ma w zerze 2-krotny pierwiastek.
Byłaby to podprzedstrzeń liniowa, gdyby chodziło o pierwiastek przynajmniej k-krotny. Bazą takiej przestrzeni byłyby wówczas wielomiany \(\displaystyle{ (x-r)^k, (x-r)^kx, (x-r)^kx^2,\ldots,(x-r)^kx^{n-k}}\).
Wszystko przy założeniu, że napis \(\displaystyle{ R[x]_n}\) oznacza wielomiany stopnia niewiększego niż \(\displaystyle{ n}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 97
- Rejestracja: 19 lut 2008, o 21:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: kielce
- Podziękował: 29 razy
wielomianowa przestrzeń wektorowa
Co prawda kolosa już napisałem, ale nieważne. Następny podpunkt tego zadania mówi właśnie o pierwiastku przynajmniej k-krotnym i szczerze mówiąc to jeszcze trochę tego nie łapię, tzn nie czuję za bardzo różnicy między tymi dwoma podpunktami. Jak masz cierpliwość to byłbym wdzięczny gdybyś jeszcze troszki to rozwinął. Pzdr
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
wielomianowa przestrzeń wektorowa
Wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) ma k-krotny pierwiastek w punktcie \(\displaystyle{ r\in\mathbb{R}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest on postaci:
\(\displaystyle{ (x-r)^ku(x)}\),
gdzie \(\displaystyle{ u(r)\neq 0}\).
Kombinacja liniowa wielomianów takiej postaci, powiedzmy
\(\displaystyle{ w_1(x)=(x-r)^ku_1(x)}\)
\(\displaystyle{ w_2(x)=(x-r)^ku_2(x)}\)
ma w punkcie \(\displaystyle{ r}\) przynajmniej k-krotny pierwiastek, bo:
\(\displaystyle{ aw_1(x)+bw_2(x)=a(x-r)^ku_1(x)+b(x-r)^ku_2(x)=(x-r)^k(au_1(x)+bu_2(x))}\)
Gdyby więc chodziło o pierwiastek przynajmniej k-krotny, to mamy już dowód, że takie wielomiany tworzą podprzestrzeń liniową.
Pierwotne zadanie rozwiązujemy zauważając, że suma wielomianów mających k-krotny pierwiastek w \(\displaystyle{ r}\) może mieć w \(\displaystyle{ r}\) pierwiastek wyższej krotności.
\(\displaystyle{ (x-r)^ku(x)}\),
gdzie \(\displaystyle{ u(r)\neq 0}\).
Kombinacja liniowa wielomianów takiej postaci, powiedzmy
\(\displaystyle{ w_1(x)=(x-r)^ku_1(x)}\)
\(\displaystyle{ w_2(x)=(x-r)^ku_2(x)}\)
ma w punkcie \(\displaystyle{ r}\) przynajmniej k-krotny pierwiastek, bo:
\(\displaystyle{ aw_1(x)+bw_2(x)=a(x-r)^ku_1(x)+b(x-r)^ku_2(x)=(x-r)^k(au_1(x)+bu_2(x))}\)
Gdyby więc chodziło o pierwiastek przynajmniej k-krotny, to mamy już dowód, że takie wielomiany tworzą podprzestrzeń liniową.
Pierwotne zadanie rozwiązujemy zauważając, że suma wielomianów mających k-krotny pierwiastek w \(\displaystyle{ r}\) może mieć w \(\displaystyle{ r}\) pierwiastek wyższej krotności.