Wyznacznik z 2x3

[doktorlubicz]

Witam jaka jest kolejność postępowania w liczeniu wyznacznika macierzy 2x3? (w pierwszym wierszu w domyśle znajdują się wersory \(\displaystyle{ i,j,k}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)

[kuch2r]

wyznacznik jest wartością liczbową charakteryzującą tylko i wyłącznie macierze kwadratowe.

[doktorlubicz]

Też tak słyszałem Jednak jakbym podstawił u góry i,j,k to otrzymałbym wynik: (0,-2,2).

A z takiego czegoś musi wyjść (0,-2,0). O co tutaj chodzi?

[kuch2r]

no to albo liczysz wyznacznik macierzy lub iloczyn wektorowy dwoch wektorow,

[doktorlubicz]

Interesuje mnie iloczyn wektorowy dwóch wektorów.
Tylko że zawsze liczyłem go w taki sposób, że w pierwszym wierszu wstawiałem i,j,k.
Po raz pierwszy spotykam się z tym, że wynik się nie zgadza i chciałbym wiedzieć jaka jest technika takiego mnożenia które napisałem w pierwszym poście.

[kuch2r]

moze, być metoda Sarrusa dla wyznacznika \(\displaystyle{ 3\times 3}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&0&0\\0&0&2\end{array}\right|}\)
i wychdzi \(\displaystyle{ (0,-2,0)}\)

[Andreas]

Dla takiej macierzy najszybciej oblicza się wyznacznik metodą rozwinięcia Laplace'a względem pierwszego wiersza.

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
a_x&a_y&a_z\\
b_x&b_y&b_z
\end{vmatrix}=
\vec{i}\begin{vmatrix}
a_y&a_z\\
b_y&b_z
\end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix}
a_x&a_z\\
b_x&b_z
\end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix}
a_x&a_y\\
b_x&b_y
\end{vmatrix}}\)


czyli

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
1&0&0\\
0&0&2
\end{vmatrix}=
\vec{i}\begin{vmatrix}
0&0\\
0&2
\end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix}
1&0\\
0&2
\end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix}
1&0\\
0&0
\end{vmatrix}= [0, \ -2, \ 0]}\)